Programcılar İçin Matematik 2023-2024 Final Soruları

Aralık 21, 2025

Programcılar İçin Matematik: Lineer Cebir, Analiz ve Ayrık Yapılar

Giriş

Bilgisayar bilimlerinde algoritmaların analizi, veri yapıları ve makine öğrenmesi gibi alanlar güçlü bir matematiksel altyapı gerektirir. Bu ders kapsamında matrisler, olasılık, türev, fonksiyonlar ve bağıntılar gibi temel konular ele alınmıştır. Aşağıda final sınavında öne çıkan soruların çözümleri ve teorik açıklamaları özetlenmiştir.

1. Lineer Cebir: Matrisler ve Vektörler

Kofaktör Hesabı: Bir matrisin $a_{ij}$ elemanının kofaktörü, latex^{i+j}[/latex] ile o elemanın minörünün çarpımıdır. Örneğin, $3 \times 3$ bir matriste $a_{32}$ elemanının işareti latex^5 = [/latex]‘dir.
Matris Çarpımı: İki matrisin çarpılabilmesi için, birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması gerekir. $2 \times 3$ ve $3 \times 4$ çarpılabilirken, $3 \times 4$ ve $2 \times 3$ çarpılamaz.
Vektör İç Çarpımı: $u \cdot v = \sum u_i v_i$ formülüyle hesaplanır. Negatif sonuçlar vektörlerin geniş açılı olduğunu gösterir.
Rank: Matrisin lineer bağımsız satır veya sütun sayısını ifade eder.

2. Analiz: Fonksiyonlar ve Türev

Türev Alma: $f(x) = x^n$ ise $f'(x) = n x^{n}$ . Negatif ve kesirli üslerde de aynı kural geçerlidir. Örneğin $x^{-3}$ ‘ün türevi $-3x^{-4}$ ‘tür.
L’Hopital Kuralı: Limitlerde $0/0$ belirsizliği varsa, pay ve paydanın ayrı ayrı türevi alınarak limit hesaplanır. $\lim_{x\to 0} \frac{4^x}{8^x}$ sorusunda bu yöntemle $2/3$ sonucuna ulaşılır.

3. Olasılık ve İstatistik

Zar Problemleri: “En az bir zarın 5 gelmesi” gibi sorularda, tüm durumlardan “hiç 5 gelmeme” durumunu çıkarmak ( $36 - 25 = 11$ ) en pratik yoldur.
Beklenen Değer: Bir rastgele değişkenin beklenen değeri, her sonucun olasılığıyla çarpılıp toplanmasıyla bulunur ( $E[X] = \sum x_i p_i$ ).
Koşullu Olasılık: Örnek uzayın daraltılmasıdır. “Büyük çocuğun erkek olduğu biliniyorsa” ifadesi, örnek uzayı {Kız-Kız, Kız-Erkek} durumlarından arındırır.

4. Ayrık Matematik: Bağıntılar ve Kümeler

Bağıntı Özellikleri: Simetrik bağıntıda latex[/latex] varsa mutlaka latex[/latex] de olmalıdır. Aksi halde simetrik değildir.
Kümeler: $A \cap B$ işleminde, eğer $B \subset A$ ise kesişim $B$ ‘nin kendisine eşittir.

@lolonolo_com

Programcılar İçin Matematik 2023-2024 Final Soruları

Programcılar İçin Matematik Final Soruları 2024

1. Bir çift hilesiz zar havaya atılıyor. En az bir zarın 5 gelmesi olayının eleman sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 12
B) 11
C) 5
D) 10
E) 6

Cevap : B) 11

Açıklama : İki zar atıldığında toplam 36 durum vardır. Hiç 5 gelmeme durumu (5 dışındaki 5 rakamın gelmesi) $5 \times 5 = 25$ ‘tir. Tüm durumlardan hiç 5 gelmeme durumunu çıkarırsak: $36 - 25 = 11$ bulunur.

2. $A=\begin{bmatrix}2&3&-4\\ 0&-4&2\\ 1&-1&5\end{bmatrix}$ matrisinin $a_{32}$ girdisinin kofaktörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2
B) -2
C) 5
D) 4
E) -4

Cevap : E) -4

Açıklama : $a_{32}$ elemanı 3. satır 2. sütundadır. Kofaktör işareti $(-1)^{3+2} = -1$ ‘dir. Minor matrisi (3. satır ve 2. sütun kapatıldığında): $\begin{vmatrix}2&-4\\ 0&2\end{vmatrix} = (2)(2) - (0)(-4) = 4$ . Kofaktör: $-1 \times 4 = -4$ .

3. $A=\begin{bmatrix}2&2&-1&6&4\\ 4&4&1&10&13\\ 8&8&-1&26&23\end{bmatrix}$ matrisinin rankı ( $rank(A)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0
B) 2
C) 1
D) 3
E) 4

Cevap : D) 3

Açıklama : Satır işlemleri yapıldığında, satırların lineer bağımsız olduğu görülür ve matrisin rankı 3 olarak bulunur.

4. x, y, z ve t birbirlerinden farklı elemanlar olmak üzere $A=\{x,y,z,t\}$ kümesi üzerinde tanımlanan bir $R=\{(x,z), (t,y), (y,t), (y,z), (z,x)\}$ bağıntısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) R bir fonksiyondur.
B) Anti-simetriktir.
C) Geçişmelidir.
D) R simetrik değildir.
E) R yansımalıdır.

Cevap : D) R simetrik değildir.

Açıklama : Simetrik olması için her $(a,b) \in R$ için $(b,a) \in R$ olmalıdır. Bağıntıda $(y,z)$ var ancak $(z,y)$ yoktur. Bu yüzden simetrik değildir.

5. $A=\begin{bmatrix}-1&2&3\\ 4&4&4\\ 0&6&5\end{bmatrix}$ matrisinin transpozesi $A^{T}=[a_{ij}]$ olmak üzere $a_{33}$ girdisi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4
B) 5
C) 0
D) 2
E) 3

Cevap : C) 0

Açıklama : Cevap anahtarı C (0) olarak verilmiştir. Ancak matrisin transpozu alındığında $A^T_{33}$ elemanı normalde 5’tir (orijinal matrisin 3. satır 3. sütunu). Cevap anahtarının 0 olması, sorunun muhtemelen transpozun $a_{13}$ elemanını (orijinal matrisin $a_{31}$ elemanı olan 0) sormayı amaçladığını düşündürmektedir. Resmi cevap anahtarına göre cevap C’dir.

6. $f(x)=\frac{2}{x^{3}}+5x^{2/3}$ fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $f^{\prime}(x)=-6x^{-4}+\frac{10}{3}x^{-1/3}$
B) $f^{\prime}(x)=x^{-3}+\frac{10}{3}x^{5/3}$
C) $f^{\prime}(x)=2x^{3}+5x^{1/3}$
D) $f^{\prime}(x)=-6x^{-4}+\frac{1}{3}x^{-1/3}$
E) $f^{\prime}(x)=-6x^{4}+10x^{-1/3}$

Cevap : A) $f^{\prime}(x)=-6x^{-4}+\frac{10}{3}x^{-1/3}$

Açıklama : $f(x) = 2x^{-3} + 5x^{2/3}$ olarak yazılır. Türev: $2(-3)x^{-4} + 5(\frac{2}{3})x^{-1/3} = -6x^{-4} + \frac{10}{3}x^{-1/3}$ .

7. $\mathbb{R}^{3}$ üzerinde $(x,y+1,y+z)=(2x+y,4,3z)$ eşitliğini sağlayan x, y, z reel sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) -2, 3, 1/3
B) 3, -3, 3/2
C) 3, -3, -2
D) -3, 3, 3/2
E) -1, 3, 1/2

Cevap : D) -3, 3, 3/2

Açıklama : $y+1=4 \Rightarrow y=3$ . $x=2x+y \Rightarrow x=2x+3 \Rightarrow x=-3$ . $y+z=3z \Rightarrow 3+z=3z \Rightarrow 2z=3 \Rightarrow z=3/2$ .

8. $A=\begin{bmatrix}2&3&-1\\ 4&-2&5\end{bmatrix}$ ve $B=\begin{bmatrix}2&-1&0&6\\ 1&3&-5&1\\ 4&1&-2&2\end{bmatrix}$ matrisleri için BA çarpım matrisi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) $\begin{bmatrix}3&6&13&13\\ 26&-5&0&32\end{bmatrix}$
B) $\begin{bmatrix}126&-3&0&521\\ 3&16&-13&3\\ 6&5&0&2\end{bmatrix}$
C) Tanımlı değildir.
D) $\begin{bmatrix}3&6&-13&13\\ 26&5&0&32\end{bmatrix}$
E) $\begin{bmatrix}3&6&-13&13\\ 26&-5&0&32\end{bmatrix}$

Cevap : C) Tanımlı değildir.

Açıklama : B matrisi $3 \times 4$ , A matrisi $2 \times 3$ boyutundadır. BA çarpımı için B’nin sütun sayısı (4) ile A’nın satır sayısının (2) eşit olması gerekir. $4 \neq 2$ olduğu için çarpım tanımlı değildir.

9. p: “Mars bir gezegendir” ve q: “Türkiye bir ada değildir.” iki önerme olmak üzere $p\Rightarrow q^{\prime}$ önermesinin ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) Mars bir gezegen ise Türkiye bir ada değildir.
B) Mars bir gezegen ise Türkiye bir adadır.
C) Mars bir gezegendir ve Türkiye bir adadır.
D) Mars bir gezegen değildir ve Türkiye bir ada değildir.
E) Mars bir gezegendir veya Türkiye bir ada değildir.

Cevap : B) Mars bir gezegen ise Türkiye bir adadır.

Açıklama : q önermesinin değili ( $q'$ ) “Türkiye bir adadır” olur. $p \Rightarrow q'$ ifadesi “Mars bir gezegen ise Türkiye bir adadır” şeklinde okunur.

10. $\lim_{x\rightarrow0}\frac{4^{x}-1}{8^{x}-1}$ limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2/3
B) 0
C) 1
D) 1/2
E) Sonsuz

Cevap : A) 2/3

Açıklama : Belirsizlik durumunda L’Hopital kuralı uygulanır: $\frac{4^x \ln 4}{8^x \ln 8}$ . x=0 için $\frac{\ln 4}{\ln 8} = \frac{\ln 2^2}{\ln 2^3} = \frac{2 \ln 2}{3 \ln 2} = \frac{2}{3}$ .

11. Dağılımı $x_i$ değerleri için 2, 3, 11 ve olasılıkları $p_i$ sırasıyla $1/3$ , $1/2$ , $1/6$ gibi olan bir X rastgele değişkeninin beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3.2
B) 10
C) 12
D) 26
E) 4

Cevap : E) 4

Açıklama : Beklenen değer $E[X] = \sum x_i \cdot p_i = 2(1/3) + 3(1/2) + 11(1/6) = 4/6 + 9/6 + 11/6 = 24/6 = 4$ .

12. $2x_{1}-6x_{2}+7x_{3}=1$ , $4x_{2}+3x_{3}=8$ , $2x_{3}=4$ lineer denklem sisteminin serbest değişkenleri aşağıdakilerden hangisidir?

A) $x_{1}, x_{2}, x_{3}$
B) $x_{1}, x_{2}$
C) Sistemin serbest değişkeni yoktur.
D) $x_{3}$
E) $x_{2}, x_{3}$

Cevap : C) Sistemin serbest değişkeni yoktur.

Açıklama : Üçgen matris formunda olan bu sistemde her değişkene karşılık gelen bir pivot (katsayı) bulunduğu için serbest değişken yoktur, tek çözüm vardır.

13. $\mathbb{R}^{5}$ ‘in $u=(4,2,3,5,-1)$ ve $v=(2,6,1,-4,8)$ vektörleri için $u \cdot v$ iç çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 51
B) 23
C) 0
D) -5
E) 5

Cevap : D) -5

Açıklama : $(4\times2) + (2\times6) + (3\times1) + (5\times-4) + (-1\times8) = 8 + 12 + 3 - 20 - 8 = -5$ .

14. x, y, z, t reel sayılar olmak üzere $A=\begin{bmatrix}x&y\\ z&t\end{bmatrix}$ matrisinin klasik eşleniği (ek matrisi/adjoint) aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\begin{bmatrix}t&-y\\ -z&x\end{bmatrix}$
B) $\begin{bmatrix}t&y\\ -z&x\end{bmatrix}$
C) $\begin{bmatrix}t&-y\\ z&x\end{bmatrix}$
D) $\begin{bmatrix}t&z\\ y&x\end{bmatrix}$
E) $\begin{bmatrix}t&y\\ z&x\end{bmatrix}$

Cevap : A) $\begin{bmatrix}t&-y\\ -z&x\end{bmatrix}$

Açıklama : 2×2 matrisin ek matrisi bulunurken, ana köşegen elemanları yer değiştirir (x ve t), yedek köşegen elemanları işaret değiştirir (y ve z).

15. İki çocuğa sahip bir çiftin büyük çocuğu erkek ise her iki çocuğun da erkek olma olasılığı hangisidir?

A) 1/3
B) 1/2
C) 3/4
D) 1/4
E) 1

Cevap : B) 1/2

Açıklama : Örnek uzay (Büyük, Küçük): {EE, EK}. Büyük çocuğun erkek olduğu bilindiğine göre olası durumlar bunlardır. İkisinin de erkek olduğu durum sadece {EE}’dir. Olasılık $1/2$ .

16. A, Bilgisayar Programlama bölümündeki öğrencilerin kümesi ve B, Bilgisayar Programlama bölümündeki gözlük takan öğrencilerin kümesi olmak üzere $A\cap B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) Bilgisayar Programlama bölümündeki gözlük takan öğrencilerin kümesi
B) Bilgisayar Programlama bölümüne kayıtlı olmayan öğrencilerin kümesi
C) Bilgisayar Programlama bölümündeki kız öğrencilerin kümesi
D) Bilgisayar Programlama bölümündeki gözlük takmayan öğrencilerin kümesi
E) Bilgisayar Programlama bölümündeki öğrencilerin kümesi

Cevap : A) Bilgisayar Programlama bölümündeki gözlük takan öğrencilerin kümesi

Açıklama : B kümesi A kümesinin alt kümesidir. Kesişimleri alt küme olan B’ye eşittir.

17. $f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$ fonksiyonunun türevinin $x=1$ noktasındaki değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1/2
B) 0
C) 1
D) 3/2
E) -1/2

Cevap : E) -1/2

Açıklama : $f(x) = x^{-1} - x^{-1/2}$ . Türev: $-x^{-2} + \frac{1}{2}x^{-3/2}$ . x=1 için: $-1 + 1/2 = -1/2$ .

18. Doğal sayılar kümesinden reel sayılar kümesine tanımlı bir f fonksiyonu n tek bir doğal sayı ise $(n-1)/2$ değerini, n çift bir doğal sayı ise $(-n/2)$ değerini alsın. f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Tersi vardır.
B) Ne birebir ne de üzerinedir.
C) Birebir ama üzerine değildir.
D) Birebir değil ama üzerinedir.
E) Birebir ve üzerinedir.

Cevap : C) Birebir ama üzerine değildir.

Açıklama : Fonksiyon tam sayıları üretir ancak Reel sayılar kümesini (örneğin 1/2, $\sqrt{2}$ gibi sayıları) örtmez, bu yüzden üzerine değildir. Her n değeri farklı bir sonuç ürettiği için birebirdir.

19. $\begin{bmatrix}1&2&2&3\\ 1&0&-2&0\\ 3&-1&1&-2\\ 4&-3&0&2\end{bmatrix}$ matrisinin determinantı aşağıdakilerden hangisidir?

A) -88
B) 146
C) 214
D) -45
E) -131

Cevap : E) -131

Açıklama : Matrisin determinantı hesaplandığında sonuç -131 bulunur.

20. $2|3x-1|\le7$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {-5, 7}
B) [-5/6, 3/2]
C) [-5, 7]
D) [5/3, 7/3]
E) (-1/3, 2/3)

Cevap : B) [-5/6, 3/2]

Açıklama : $|3x-1| \le 3.5 \Rightarrow -3.5 \le 3x-1 \le 3.5 \Rightarrow -2.5 \le 3x \le 4.5 \Rightarrow -5/6 \le x \le 3/2$ .

@lolonolo_com

Programcılar İçin Matematik 2023-2024 Final Soruları

Öğrenci Dostu

LOLONOLO
Öğrenme Yönetim Sistemi

Auzef sınav soruları, çıkmış sorular, deneme sınaları hepsi lolonolo’da ücretsiz.

Auzef Programcılar İçin Matematik

Programcılar İçin Matematik: Lineer Cebir, Analiz ve Ayrık Yapılar

Giriş

1. Lineer Cebir: Matrisler ve Vektörler

2. Analiz: Fonksiyonlar ve Türev

3. Olasılık ve İstatistik

4. Ayrık Matematik: Bağıntılar ve Kümeler

Programcılar İçin Matematik 2023-2024 Final Soruları

Programcılar İçin Matematik Final Soruları 2024

1. Bir çift hilesiz zar havaya atılıyor. En az bir zarın 5 gelmesi olayının eleman sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

2. matrisinin girdisinin kofaktörü aşağıdakilerden hangisidir?

3. matrisinin rankı () aşağıdakilerden hangisidir?

4. x, y, z ve t birbirlerinden farklı elemanlar olmak üzere kümesi üzerinde tanımlanan bir bağıntısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

5. matrisinin transpozesi olmak üzere girdisi aşağıdakilerden hangisidir?

6. fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

7. üzerinde eşitliğini sağlayan x, y, z reel sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

8. ve matrisleri için BA çarpım matrisi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

9. p: “Mars bir gezegendir” ve q: “Türkiye bir ada değildir.” iki önerme olmak üzere önermesinin ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

10. limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

11. Dağılımı değerleri için 2, 3, 11 ve olasılıkları sırasıyla , , gibi olan bir X rastgele değişkeninin beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?

12. , , lineer denklem sisteminin serbest değişkenleri aşağıdakilerden hangisidir?

13. ‘in ve vektörleri için iç çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

14. x, y, z, t reel sayılar olmak üzere matrisinin klasik eşleniği (ek matrisi/adjoint) aşağıdakilerden hangisidir?

15. İki çocuğa sahip bir çiftin büyük çocuğu erkek ise her iki çocuğun da erkek olma olasılığı hangisidir?

16. A, Bilgisayar Programlama bölümündeki öğrencilerin kümesi ve B, Bilgisayar Programlama bölümündeki gözlük takan öğrencilerin kümesi olmak üzere kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

17. fonksiyonunun türevinin noktasındaki değeri aşağıdakilerden hangisidir?

18. Doğal sayılar kümesinden reel sayılar kümesine tanımlı bir f fonksiyonu n tek bir doğal sayı ise değerini, n çift bir doğal sayı ise değerini alsın. f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

19. matrisinin determinantı aşağıdakilerden hangisidir?

20. eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Programcılar İçin Matematik 2023-2024 Final Soruları

Editor

2. $A=\begin{bmatrix}2&3&-4\\ 0&-4&2\\ 1&-1&5\end{bmatrix}$ matrisinin $a_{32}$ girdisinin kofaktörü aşağıdakilerden hangisidir?

3. $A=\begin{bmatrix}2&2&-1&6&4\\ 4&4&1&10&13\\ 8&8&-1&26&23\end{bmatrix}$ matrisinin rankı ( $rank(A)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

4. x, y, z ve t birbirlerinden farklı elemanlar olmak üzere $A=\{x,y,z,t\}$ kümesi üzerinde tanımlanan bir $R=\{(x,z), (t,y), (y,t), (y,z), (z,x)\}$ bağıntısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

5. $A=\begin{bmatrix}-1&2&3\\ 4&4&4\\ 0&6&5\end{bmatrix}$ matrisinin transpozesi $A^{T}=[a_{ij}]$ olmak üzere $a_{33}$ girdisi aşağıdakilerden hangisidir?

6. $f(x)=\frac{2}{x^{3}}+5x^{2/3}$ fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

7. $\mathbb{R}^{3}$ üzerinde $(x,y+1,y+z)=(2x+y,4,3z)$ eşitliğini sağlayan x, y, z reel sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

8. $A=\begin{bmatrix}2&3&-1\\ 4&-2&5\end{bmatrix}$ ve $B=\begin{bmatrix}2&-1&0&6\\ 1&3&-5&1\\ 4&1&-2&2\end{bmatrix}$ matrisleri için BA çarpım matrisi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

9. p: “Mars bir gezegendir” ve q: “Türkiye bir ada değildir.” iki önerme olmak üzere $p\Rightarrow q^{\prime}$ önermesinin ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

10. $\lim_{x\rightarrow0}\frac{4^{x}-1}{8^{x}-1}$ limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

11. Dağılımı $x_i$ değerleri için 2, 3, 11 ve olasılıkları $p_i$ sırasıyla $1/3$ , $1/2$ , $1/6$ gibi olan bir X rastgele değişkeninin beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?

12. $2x_{1}-6x_{2}+7x_{3}=1$ , $4x_{2}+3x_{3}=8$ , $2x_{3}=4$ lineer denklem sisteminin serbest değişkenleri aşağıdakilerden hangisidir?

13. $\mathbb{R}^{5}$ ‘in $u=(4,2,3,5,-1)$ ve $v=(2,6,1,-4,8)$ vektörleri için $u \cdot v$ iç çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

14. x, y, z, t reel sayılar olmak üzere $A=\begin{bmatrix}x&y\\ z&t\end{bmatrix}$ matrisinin klasik eşleniği (ek matrisi/adjoint) aşağıdakilerden hangisidir?

16. A, Bilgisayar Programlama bölümündeki öğrencilerin kümesi ve B, Bilgisayar Programlama bölümündeki gözlük takan öğrencilerin kümesi olmak üzere $A\cap B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

17. $f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$ fonksiyonunun türevinin $x=1$ noktasındaki değeri aşağıdakilerden hangisidir?

18. Doğal sayılar kümesinden reel sayılar kümesine tanımlı bir f fonksiyonu n tek bir doğal sayı ise $(n-1)/2$ değerini, n çift bir doğal sayı ise $(-n/2)$ değerini alsın. f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

19. $\begin{bmatrix}1&2&2&3\\ 1&0&-2&0\\ 3&-1&1&-2\\ 4&-3&0&2\end{bmatrix}$ matrisinin determinantı aşağıdakilerden hangisidir?

20. $2|3x-1|\le7$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?