Auzef Programcılar İçin Matematik 2023-2025 Final Soruları

Programcılar İçin Matematik 2024-2025 Final Soruları

Aralık 21, 2025

(12 soru var, eksikler tamamlanacak)

Programcılar İçin Matematik: Lineer Cebir, Analiz ve Ayrık Yapılar

Giriş

Yazılım ve algoritma geliştirme süreçlerinin temelini oluşturan matematiksel kavramlar; lineer cebir, analiz (kalkülüs), olasılık ve ayrık matematiği kapsar. Bu derste vektör uzayları, fonksiyonların türevleri, mantıksal önermeler ve küme teorisi gibi final sınavında öne çıkan konular özetlenmiştir.

Shutterstock

1. Lineer Cebir: Denklem Sistemleri ve Vektörler

Lineer Denklem Sistemleri: Bir sistemin katsayılar matrisinin determinantı 0 ise veya denklemlerden biri diğerlerinin lineer kombinasyonuysa (Örn: $R_3 = R_1 + 2R_2$ ), sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır (Lineer Bağımlılık).
Vektörler:
- İzdüşüm: Bir $u$ vektörünün $v$ üzerine izdüşümü: $proj_v u = \frac{u \cdot v}{||v||^2} v$ formülüyle bulunur.
- Vektör Uzunluğu (Norm): $\mathbb{R}^3$ ‘te $u=(x,y,z)$ vektörünün boyu $||u|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ dir.

2. Analiz: Fonksiyonlar, Türev ve Limit

Türev Alma Kuralları:
- Zincir Kuralı: $f(x) = (g(x))^n$ ise türevi $f'(x) = n(g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$ olur.
- Polinomlar: $x^n$ türevi $n \cdot x^{n-1}$ ‘dir. Sabit sayının türevi 0’dır.
Bileşke Fonksiyon: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ işleminde önce içteki $g(x)$ hesaplanır, çıkan sonuç $f$ ‘de yerine konur.
Limit: Limitte belirsizlik ( $0/0$ gibi) yoksa, değer doğrudan yerine yazılır. Örneğin pay 0, payda sayı ise sonuç 0’dır.

Getty Images

3. Ayrık Matematik ve Mantık

Önermeler: Mantıkta bir ifadenin önerme olabilmesi için kesin bir yargı (doğru veya yanlış) bildirmesi gerekir. Soru cümleleri (“Su içmek ihtiyaç mıdır?”) önerme değildir.
Kümeler ve Bağıntılar:
- Simetrik Fark ( $A \oplus B$ ): İki kümenin birleşiminden kesişimlerinin çıkarılmasıdır (Sadece A’da ve sadece B’de olanlar).
- Denklik Bağıntısı: Bir küme üzerindeki bağıntı, kümeyi ayrık alt kümelere (parçalanışlara) böler. Birbiriyle ilişkili elemanlar aynı grupta yer alır.

4. Olasılık

Kombinasyon: Seçme işlemlerinde sıra önemsizse kombinasyon kullanılır ( $C(n,r)$ ). “13 yumurtadan 4’ünü seçme” gibi problemler bu yolla çözülür.
Koşullu Olasılık: Olasılık uzayı verilen koşula göre daraltılır. Örneğin zarlardan birinin 4’ten büyük olduğu biliniyorsa, evrensel küme sadece bu durumları içerir.

@lolonolo_com

Programcılar İçin Matematik 2024-2025 Final Soruları

Programcılar İçin Matematik Final Soruları 2024-2025

1. $x + y + 3z = 1$ , $2x + 3y - z = 3$ , $5x + 7y + z = 7$ lineer denklem sistemiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Tek çözümü vardır.
B) Sonsuz sayıda çözümü vardır.
C) Sıfır çözümü vardır.
D) Çözümü yoktur.
E) (0, 1, 2) bir çözümüdür.

Cevap : B) Sonsuz sayıda çözümü vardır.

Açıklama : Denklem sisteminin katsayılar matrisinin determinantı 0’dır ve 3. denklem, 1. denklem ile 2. denklemin 2 katının toplamına eşittir ( $R_3 = R_1 + 2R_2$ ). Bu durum, denklemlerin lineer bağımlı olduğunu ve sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu gösterir.

2. $\mathbb{R}^5$ ‘in $u=(2, -5, 4, 6, -3)$ vektörünün $v=(5, -2, 1, -7, -4)$ vektörü üzerine izdüşümü aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-3/49)v$
B) $95v$
C) 0
D) $(-6/95)v$
E) $18v$

Cevap : D) $(-6/95)v$

Açıklama : İzdüşüm formülü $proj_v u = \frac{u \cdot v}{||v||^2} v$ dir. İç çarpım $u \cdot v = -6$ ve $||v||^2 = 95$ olarak hesaplanır. Sonuç $\frac{-6}{95}v$ olur.

3. Bir kolide bulunan 13 yumurtadan 5 tanesi bozuktur. Bu koliden rastgele 4 yumurta seçilmektedir ve seçilen yumurtalar koliye tekrar konmamaktadır. Seçilen 4 yumurtadan tümünün bozuk olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) $1/143$
B) $1/2$
C) $2/5$
D) $17/139$
E) $5/156$

Cevap : A) $1/143$

Açıklama : 5 bozuk yumurtadan 4’ünü seçme kombinasyonu $C(5,4)$ , toplam 13 yumurtadan 4’ünü seçme kombinasyonu $C(13,4)$ ‘tür. $\frac{5}{715} = \frac{1}{143}$ sonucuna ulaşılır.

4. $u=(-2, 3, 5)$ vektörünün uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 25
B) $\sqrt{13}$
C) 13
D) $\sqrt{38}$
E) 38

Cevap : D) $\sqrt{38}$

Açıklama : Vektör uzunluğu $||u|| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4+9+25} = \sqrt{38}$ dir.

5. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir?

A) $2 < 1$ dir.
B) İtalya’nın başkenti Roma’dır.
C) $1 < 2$ dir.
D) Bugün hava güneşlidir.
E) Su içmek bir ihtiyaç mıdır?

Cevap : E) Su içmek bir ihtiyaç mıdır?

Açıklama : Soru cümleleri, bir yargı (doğru veya yanlış) bildirmediği için mantıkta önerme olarak kabul edilmez.

6. Hilesiz iki zar aynı anda havaya atılıyor. Zarlardan birinin 4’ten büyük geldiği bilindiğine göre üst yüzeye gelen sayıların toplamının 5 olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) $1/4$
B) $1/3$
C) 0
D) $1/2$
E) $2/3$

Cevap : C) 0

Açıklama : Toplamı 5 olan zar çiftleri (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)’dir. Bu çiftlerin hiçbirinde zarlardan biri 4’ten büyük (5 veya 6) değildir. Bu nedenle verilen koşul altında bu olasılık 0’dır.

7. $f(x) = (x^2 - 3x + 2)^5$ fonksiyonu için $f'(0)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) 32
B) 225
C) 240
D) -240
E) -15

Cevap : D) -240

Açıklama : Zincir kuralı ile türev: $f'(x) = 5(x^2 - 3x + 2)^4 \cdot (2x - 3)$ . $x=0$ için $f'(0) = 5(2)^4 \cdot (-3) = 5 \cdot 16 \cdot (-3) = -240$ .

8. $f(x) = 3x - 5$ ve $g(x) = x^2 - 3$ olmak üzere $(f \circ g)(2)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) -2
B) -1
C) 5
D) 4
E) 0

Cevap : A) -2

Açıklama : $(f \circ g)(2) = f(g(2))$ . Önce $g(2) = 2^2 - 3 = 1$ . Sonra $f(1) = 3(1) - 5 = -2$ .

9. $f(x) = x^5 - 2x^3 + 3x - 2$ fonksiyonu için $f'(-1)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) -2
B) -1
C) -4
D) 0
E) 2

Cevap : E) 2

Açıklama : Türev $f'(x) = 5x^4 - 6x^2 + 3$ . $x=-1$ yerine konulursa $f'(-1) = 5(1) - 6(1) + 3 = 2$ .

10. $A = \{n \in \mathbb{N} : n \le 6\}$ ve $B = \{n \in \mathbb{N} : 4 \le n \le 9\}$ olmak üzere $A \oplus B$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\{1, 2, 3, 4\}$
B) $\{1, 2, 3, 7, 8, 9\}$
C) $\{1, 2, 3, 5, 7\}$
D) $\{4, 5\}$
E) $\{7, 8, 9\}$

Cevap : B) $\{1, 2, 3, 7, 8, 9\}$

Açıklama : Simetrik fark işlemi, her iki kümenin kesişimi olan $\{4, 5, 6\}$ elemanlarının atılmasıyla, sadece A’da ve sadece B’de olan elemanların birleşimidir.

11. $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesi üzerinde tanımlı $R=\{(1,1), (1,5), (2,2), (2,3), (2,6), (3,2), (3,3), (3,6), (4,4), (5,1), (5,5), (6,2), (6,3), (6,6)\}$ bağıntısına göre A kümesinin parçalanışı aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\{\{1,6\}, \{2,4,5\}, \{3\}\}$
B) $\{\{1,2\}, \{5,3,6\}, \{4\}\}$
C) $\{\{1,2\}, \{4\}\}$
D) $\{\{2,3,6\}, \{4\}\}$
E) $\{\{1,5\}, \{2,3,6\}, \{4\}\}$

Cevap : E) $\{\{1,5\}, \{2,3,6\}, \{4\}\}$

Açıklama : Bağıntıdaki eşleşmelere bakıldığında; 1 ve 5 kendi arasında, 2, 3 ve 6 kendi arasında ilişkilidir. 4 ise sadece kendisiyle ilişkilidir. Bu durum E şıkkındaki denklik sınıflarını oluşturur.

12. $\lim_{x \to 4} \frac{4 - \sqrt{x+12}}{3 - x}$ limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) -8
B) $-4/3$
C) 8
D) 0
E) -1

Cevap : D) 0

Açıklama : $x=4$ değeri yerine yazıldığında $\frac{4 - \sqrt{16}}{3 - 4} = \frac{0}{-1} = 0$ sonucu elde edilir. Belirsizlik yoktur.

@lolonolo_com

Programcılar İçin Matematik 2024-2025 Final Soruları

Öğrenci Dostu

LOLONOLO
Öğrenme Yönetim Sistemi

Auzef sınav soruları, çıkmış sorular, deneme sınaları hepsi lolonolo’da ücretsiz.

Auzef Programcılar İçin Matematik

Programcılar İçin Matematik: Lineer Cebir, Analiz ve Ayrık Yapılar

Giriş

1. Lineer Cebir: Denklem Sistemleri ve Vektörler

2. Analiz: Fonksiyonlar, Türev ve Limit

3. Ayrık Matematik ve Mantık

4. Olasılık

Programcılar İçin Matematik 2024-2025 Final Soruları

Programcılar İçin Matematik Final Soruları 2024-2025

1. , , lineer denklem sistemiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

2. ‘in vektörünün vektörü üzerine izdüşümü aşağıdakilerden hangisidir?

3. Bir kolide bulunan 13 yumurtadan 5 tanesi bozuktur. Bu koliden rastgele 4 yumurta seçilmektedir ve seçilen yumurtalar koliye tekrar konmamaktadır. Seçilen 4 yumurtadan tümünün bozuk olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

4. vektörünün uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?

5. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir?

6. Hilesiz iki zar aynı anda havaya atılıyor. Zarlardan birinin 4’ten büyük geldiği bilindiğine göre üst yüzeye gelen sayıların toplamının 5 olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

7. fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisidir?

8. ve olmak üzere değeri aşağıdakilerden hangisidir?

9. fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisidir?

10. ve olmak üzere işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

11. kümesi üzerinde tanımlı bağıntısına göre A kümesinin parçalanışı aşağıdakilerden hangisidir?

12. limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Programcılar İçin Matematik 2024-2025 Final Soruları

Editor

1. $x + y + 3z = 1$ , $2x + 3y - z = 3$ , $5x + 7y + z = 7$ lineer denklem sistemiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

2. $\mathbb{R}^5$ ‘in $u=(2, -5, 4, 6, -3)$ vektörünün $v=(5, -2, 1, -7, -4)$ vektörü üzerine izdüşümü aşağıdakilerden hangisidir?

4. $u=(-2, 3, 5)$ vektörünün uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?

7. $f(x) = (x^2 - 3x + 2)^5$ fonksiyonu için $f'(0)$ aşağıdakilerden hangisidir?

8. $f(x) = 3x - 5$ ve $g(x) = x^2 - 3$ olmak üzere $(f \circ g)(2)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

9. $f(x) = x^5 - 2x^3 + 3x - 2$ fonksiyonu için $f'(-1)$ aşağıdakilerden hangisidir?

10. $A = \{n \in \mathbb{N} : n \le 6\}$ ve $B = \{n \in \mathbb{N} : 4 \le n \le 9\}$ olmak üzere $A \oplus B$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

11. $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesi üzerinde tanımlı $R=\{(1,1), (1,5), (2,2), (2,3), (2,6), (3,2), (3,3), (3,6), (4,4), (5,1), (5,5), (6,2), (6,3), (6,6)\}$ bağıntısına göre A kümesinin parçalanışı aşağıdakilerden hangisidir?

12. $\lim_{x \to 4} \frac{4 - \sqrt{x+12}}{3 - x}$ limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?