Programcılar İçin Matematik 2025-2026 Bütünleme Soruları

Lineer Cebir ve Matris Operasyonları

Programlama dünyasında verilerin işlenmesi ve grafiksel dönüşümlerin temelinde lineer cebir yatar. İki matrisin çarpılabilmesi (A x B) için en temel kural, ilk matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olmasıdır. Matrislerin yapısal analizinde kullanılan rank kavramı, lineer bağımsız satır veya sütun sayısını ifade eder; örneğin 3×3’lük bir matrisin determinantı sıfırdan farklıysa rankı 3’tür. Determinant hesaplamalarında, eğer bir matrisin herhangi bir satırı veya sütunu tamamen sıfırlardan oluşuyorsa, o matrisin determinantı otomatik olarak 0 olur. Ayrıca bir matrisin transpozunun tekrar transpozu alındığında $((A^T)^T)$, sonuç matrisin kendisine eşit olur. Matrisin klasik eşleniği (Adjoint) hesaplanırken, kofaktörler matrisinin transpozu alınır; dolayısıyla ek matrisin $a_{23}$ girdisi, orijinal matrisin $C_{32}$ kofaktörüne karşılık gelir.

Vektör Analizi: Uzunluk ve Uzaklık

Veri bilimi ve oyun programlamada vektörler arasındaki ilişkiyi ölçmek kritik öneme sahiptir. Bir $u = (x, y, z)$ vektörünün uzunluğu (normu), $|u| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ formülüyle hesaplanır. İki vektör arasındaki Öklid uzaklığı ise karşılıklı bileşenlerin farklarının karelerinin toplamının karekökü alınarak bulunur. Örneğin, $R^5$ uzayındaki iki vektör arasındaki farkların kareleri toplamı 197 ise, bu vektörler arasındaki uzaklık $\sqrt{197}$ birimdir.

Olasılık Teorisi ve Koşullu Durumlar

Algoritma tasarımında belirsizlikleri yönetmek için olasılık hesaplamaları kullanılır. İki zar atıldığında toplam 36 durum oluşurken, sayıların eşit olması (1,1’den 6,6’ya) 6 farklı durumu temsil eder. Koşullu olasılık problemlerinde ise örnek uzay verilen bilgiye göre daraltılır. Örneğin, üç çocuktan (veya kediden) birinin cinsiyeti biliniyorsa, tüm olasılıklar içinden bu koşula uymayan durumlar elenerek hesaplama yapılır. Benzer şekilde, iki zar atıldığında birinin 4’ten büyük geldiği biliniyorsa, toplamın 5 olma olasılığı sıfırdır; çünkü bir zar en az 5 ise toplam en az 6 olacaktır.

Fonksiyonlar, Limit ve Türev

Fonksiyonlar, bir girdiyi belirli kurallarla çıktıya dönüştüren temel yapılardır. Bileşke fonksiyonlarda $(f \circ g)(x)$, işlem sırası içten dışa doğru ilerler. Limit hesaplamalarında, sinüs ve kosinüs gibi sürekli fonksiyonlarda değer doğrudan yerine koyularak sonuç bulunabilir; örneğin $x, \pi/2$’ye giderken $\sin(x) + \cos(2x)$ toplamı $1 + (-1) = 0$ sonucunu verir. Analiz süreçlerinde kullanılan türev, bir fonksiyonun değişim hızını ölçer. $f(x) = \sqrt[3]{x^2} – \frac{3}{2x^3}$ gibi bir ifadenin türevi alınırken üslü sayı kuralları uygulanarak sonuca ulaşılır.

Mantık, Kümeler ve Sayı Sistemleri

Bilgisayar bilimlerinin dili mantık ve kümelerdir. “Ve” ($\land$) bağlacı ile kurulan bir önermenin doğru sayılabilmesi için bileşenlerinin her ikisinin de doğru olması gerekir. Sayı sistemlerinde ise rasyonel olmayan, kesirli olarak ifade edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir; $\sqrt{5}$ veya $1/\sqrt{5}$ bu sınıfa girer. Kümeler arası kesişim işlemleri, her iki kümede ortak bulunan elemanların tespit edilmesini sağlar. Lineer denklemlerin çözümünde ise bilinmeyen değişkeni yalnız bırakma yöntemiyle çözüm kümesi elde edilir.

1. İki matrisin çarpımının tanımlı olması için aşağıdaki koşullardan hangisi sağlanmalıdır?

A) İlk matrisin satır sayısı, ikinci matrisin sütun sayısına eşit olmalıdır.
B) İki matris eşit olmalıdır.
C) İlk matrisin sütun sayısı, ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır.
D) Matrislerin satır sayıları eşit olmalıdır.
E) Matrislerin sütun sayıları eşit olmalıdır.

Cevap : C) İlk matrisin sütun sayısı, ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır.

Açıklama : Matris çarpımı (A x B) işlemi, ancak birinci matrisin (A) sütun sayısının, ikinci matrisin (B) satır sayısına eşit olması durumunda tanımlıdır. Örneğin, A matrisi m x n boyutunda ve B matrisi p x r boyutundaysa, çarpımın yapılabilmesi için n = p olmalıdır. Sonuç matrisi ise m x r boyutunda olur. Eğer bu eşitlik sağlanmazsa, matrislerin boyutları uyumsuz olduğu için çarpım işlemi gerçekleştirilemez. Bu, lineer cebirin en temel kurallarından biridir.

2. u=(-2,3,5) vektörünün uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?

A) √38
B) 13
C) √13
D) 25
E) 38

Cevap : A) √38

Açıklama : Bir vektörün uzunluğu (normu), bileşenlerinin karelerinin toplamının karekökü alınarak hesaplanır. u = (x, y, z) vektörü için formül |u| = √(x² + y² + z²) şeklindedir.
Verilen u = (-2, 3, 5) vektörü için:
|u| = √((-2)² + 3² + 5²)
|u| = √(4 + 9 + 25)
|u| = √(13 + 25)
|u| = √38
Bu nedenle doğru cevap √38’dir.

3. Bir çift hilesiz zar havaya atılıyor. Her iki zarda gelen sayıların eşit olması olayının eleman sayısı kaçtır?

A) 6
B) 1
C) 2
D) 1/2
E) 1/3

Cevap : A) 6

Açıklama : İki zar atıldığında örnek uzay 6×6=36 elemanlıdır. İstenen olay, her iki zarın üst yüzüne gelen sayıların eşit olmasıdır. Bu durumları listeleyecek olursak:
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).
Görüldüğü üzere, bu şartı sağlayan toplam 6 farklı durum (eleman) vardır.

4. R⁵ in u=(2,-5,4,6,-3) ve v=(5,-2,1,-7,-4) vektörleri arasındaki uzaklık d(u,v) aşağıdakilerden hangisidir?

A) 58
B) -3
C) √197
D) √58
E) 197

Cevap : C) √197

Açıklama : İki vektör arasındaki Öklid uzaklığı, karşılıklı bileşenlerin farklarının karelerinin toplamının kareköküdür.
d(u,v) = √[(5-2)² + (-2-(-5))² + (1-4)² + (-7-6)² + (-4-(-3))²]
d(u,v) = √[3² + 3² + (-3)² + (-13)² + (-1)²]
d(u,v) = √[9 + 9 + 9 + 169 + 1]
d(u,v) = √[197]
Sonuç √197 olarak bulunur.

5. A = {a, {∅}, {b,c}, d, e, f} ve B = {a, b, c, d,  {d,e} ∅} kümeleri veriliyor. Buna göre, A ∩ B nin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2
B) 3
C) 5
D) 4
E) 1

Cevap : E) 1

Açıklama :

6. lim  sin(x) + cos(2x)
x→π/2
İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) π/2
B) 0
C) 1
D) -1
E) Limit yoktur.

Cevap : B) 0

Açıklama : Limit değerini bulmak için fonksiyonda x yerine π/2 (90 derece) yazarız. Fonksiyon sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi uygulanır.
= sin(π/2) + cos(2 * π/2)
= sin(90°) + cos(180°)
= 1 + (-1)
= 0
Sonuç 0’dır.

7.
matrisinin rankı rank(A) aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0
B) 4
C) 1
D) 3
E) 2

Cevap : D) 3

Açıklama : Bir matrisin rankı, lineer bağımsız satır veya sütun sayısını ifade eder. Bunu bulmanın en pratik yolu determinantını hesaplamaktır. Eğer 3×3’lük bir matrisin determinantı 0’dan farklıysa, rankı 3’tür (tam rank).
Det(A) = 1((-4)(-5) – (13)(1)) – 2((-3)(-5) – (13)(2)) + (-3)((-3)(1) – (-4)(2))
= 1(20 – 13) – 2(15 – 26) – 3(-3 + 8)
= 1(7) – 2(-11) – 3(5)
= 7 + 22 – 15 = 14
Determinant 14 (sıfırdan farklı) olduğu için matrisin rankı 3’tür.

8. f(x)=3x-5 ve g(x)=x²-3 olmak üzere (f∘g)(2) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 5
B) -1
C) 0
D) 4
E) -2

Cevap : E) -2

Açıklama : Bileşke fonksiyon (f∘g)(2), f(g(2)) demektir. İşlem sırasına göre önce içteki g(2) değeri bulunur, sonra bu değer f fonksiyonunda yerine yazılır.
1. Adım: g(2) = 2² – 3 = 4 – 3 = 1
2. Adım: Bulunan 1 değeri f(x)’te yerine yazılır -> f(1) = 3(1) – 5 = 3 – 5 = -2
Sonuç -2’dir.

9. N doğal sayılar kümesi üzerindeki R={(x,y): 2x+y=6} bağıntısının değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {2,4}
B) N
C) {1,4,5}
D) {1,2}
E) {-4, 2, 4, 10}

Cevap : A) {2,4}

Açıklama : Doğal sayılar kümesinde (N = {1, 2, 3, …} kabul edilirse) 2x + y = 6 eşitliğini sağlayan (x, y) ikililerini bulmamız gerekir.
– x=1 için: 2(1) + y = 6 => y = 4 (Doğal sayı, geçerli)
– x=2 için: 2(2) + y = 6 => y = 2 (Doğal sayı, geçerli)
– x=3 için: 2(3) + y = 6 => y = 0 (Genellikle pozitif doğal sayılar kümesinde 0 dahil edilmezse geçersiz, dahilse geçerli. Şıklara bakıldığında 0 yok, demek ki N={1,2…})
Bağıntının değer kümesi, y değerlerinin oluşturduğu kümedir: {2, 4}.

10.
0 1 0 0 0 -1
0 0 0 0 1 0
-1 0 0 0 0 0
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
matrisinin determinantı aşağıdakilerden hangisidir?

A) -1
B) Determinant hesaplanamaz.
C) 1
D) 0
E) -2

Cevap : D) 0

Açıklama : Determinant özelliklerine göre, bir kare matrisin herhangi bir satırı veya sütunu tamamen sıfırlardan oluşuyorsa, o matrisin determinantı 0’dır.
Verilen matrisin 5. satırına bakıldığında (0 0 0 0 0 0) tüm elemanların sıfır olduğu görülmektedir. Bu nedenle işlem yapmaya gerek kalmadan determinantın 0 olduğu söylenebilir.

11.
fonksiyonu için f(1) aşağıdakilerden hangisidir?

A) 6
B) 8
C) Tanımsızdır
D) 0
E) 14

Cevap : E) 14

Açıklama :

12.  aşağıdakilerden hangisidir?

A)
B) Tanımlı değildir.
C)
D)
E)

Cevap : E)

Açıklama : Matris transpozunun (devriğinin) temel özelliklerinden biri, bir matrisin transpozunun tekrar transpozu alındığında matrisin kendisine eşit olmasıdır. Yani (A^T)^T = A’dır.
Bu kurala göre, matris üzerinde hiçbir değişiklik olmaz ve sonuç başlangıçtaki A matrisinin aynısıdır. A matrisi [1 -5 0; 2 -3 -1] olduğuna göre cevap da budur.

13. 364152 permütasyonunun inversiyon sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 6
B) 9
C) 7
D) 8
E) İnversiyonu yoktur.

Cevap : B) 9

Açıklama : İnversiyon, bir permütasyon dizisinde kendisinden sonra gelen sayılardan büyük olan her sayı için oluşan çiftlerdir (i < j iken P(i) > P(j) durumu).
– 3 için: 1 ve 2 kendisinden küçük (2 inversiyon)
– 6 için: 4, 1, 5, 2 kendisinden küçük (4 inversiyon)
– 4 için: 1 ve 2 kendisinden küçük (2 inversiyon)
– 1 için: Kendisinden küçük sayı yok (0 inversiyon)
– 5 için: 2 kendisinden küçük (1 inversiyon)
– 2 için: Sağında sayı yok (0 inversiyon)
Toplam: 2 + 4 + 2 + 0 + 1 = 9 inversiyon vardır.

14. Bir çiftçinin 3 kedisi vardır. Bu kedilerden birinin dişi olduğu bilindiğine göre diğer ikisinin erkek olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 5/6
B) 1/7
C) 4/7
D) 3/7
E) 3/5

Cevap : D) 3/7

Açıklama : Bu bir koşullu olasılık problemidir.
Örnek uzay: 3 kedi için cinsiyet dağılımları (E: Erkek, D: Dişi) -> {EEE, EED, EDE, EDD, DEE, DED, DDE, DDD} toplam 8 durum.
Koşul: “En az birinin dişi olduğu biliniyor”. Bu durumda EEE (hepsi erkek) ihtimali elenir. Geriye kalan örnek uzay 7 elemanlıdır: {EED, EDE, EDD, DEE, DED, DDE, DDD}.
İstenen durum: “Diğer ikisinin erkek olması”, yani “Sadece 1 dişi, 2 erkek olması” durumu. Bu kümeye uyanlar: {EED, EDE, DEE}. Toplam 3 durum.
Olasılık = İstenen Durum / Koşullu Örnek Uzay = 3 / 7.

15.
matrisinin klasik eşleniğinin 2. satır 3. sütundaki (𝑎 ₂₃) girdisi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1
B) 17
C) 7
D) -3
E) -8

Cevap : A) 1

Açıklama : Klasik eşlenik (Ek matris / Adjoint matrix), kofaktörler matrisinin transpozudur. Yani Ek(A) matrisinin (2,3) elemanı, Kofaktör matrisinin (3,2) elemanına eşittir.
Kofaktör C₃₂’yi bulmak için: A matrisinin 3. satır ve 2. sütununu kapatıp determinantı hesaplarız ve (-1)^(3+2) ile çarparız.
Kalan matris:
2 1
-5 -3
Determinant = (2 * -3) – (1 * -5) = -6 – (-5) = -1.
İşaret çarpanı = (-1)⁵ = -1.
Sonuç C₃₂ = -1 * -1 = 1.
Bu değer Adjoint matrisin (2,3) konumuna gelir.

16. fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

A)
B)
C)
D)
E)

Cevap : C)

Açıklama : Fonksiyonu üslü sayı formatına çevirelim: f(x) = x^(2/3) – (3/2)x^(-3).
Şimdi türev alalım (üs başa geçer, üs bir azalır):
1. Terim: (2/3) * x^(2/3 – 1) = (2/3)x^(-1/3).
2. Terim: (-3/2) * (-3) * x^(-3 – 1) = (9/2)x^(-4).
Birleştirirsek: f'(x) = (2/3)x^(-1/3) + (9/2)x^(-4).
Bu sonuç C şıkkı ile eşleşmektedir.

17. Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyonel bir sayıdır?

A) 1/2
B) 1/√5
C) 0.1
D) 2
E) √5

Cevap : B) 1/√5

Açıklama : İrrasyonel sayılar, a/b şeklinde (kesirli) yazılamayan, virgülden sonra düzensiz ve sonsuza kadar giden sayılardır.
– A) 1/2 Rasyoneldir.
– C) 0.1 Rasyoneldir (1/10).
– D) 2 Rasyoneldir (2/1).
– B) 1/√5 ve E) √5 seçeneklerinin ikisi de matematiksel olarak irrasyoneldir (Kök dışına tam çıkamayan sayılar irrasyoneldir). Ancak sınav sorusunun basımında bir hata veya okuma zorluğu olabilir. Genellikle bu tip sorularda köklü ifade tek doğru cevaptır. Şıklar incelendiğinde B şıkkı “1 bölü kök 5” yapısıyla kesinlikle irrasyoneldir.

18. Aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?

A) Papatya bir çiçektir ve Japonya bir Avrupa ülkesidir.
B) Papatya bir çiçektir ve 3+3=6 dır.
C) Japonya bir Avrupa ülkesidir ve 3+3=6 dır.
D) Japonya bir Avrupa ülkesidir ve 3+3=5 tir.
E) Papatya bir çiçektir ve 3+3=5 tir.

Cevap : B) Papatya bir çiçektir ve 3+3=6 dır.

Açıklama : “Ve” bağlacı (∧) ile kurulan bir bileşik önermenin doğru olabilmesi için, her iki önermenin de ayrı ayrı doğru olması gerekir (1 ∧ 1 ≡ 1).
– Papatya bir çiçektir (Doğru – 1)
– 3+3=6 dır (Doğru – 1)
Bu iki doğru önermenin birleşimi (1 ve 1) Doğru sonucunu verir.
Diğer şıklarda en az bir yanlış önerme (Örn: Japonya Avrupa ülkesidir – Yanlış) bulunduğu için sonuç yanlıştır.

19. Hilesiz iki zar aynı anda havaya atılıyor. Zarlardan birinin 4’ten büyük geldiği bilindiğine göre üst yüzeye gelen sayıların toplamının 5 olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1/3
B) 1/4
C) 0
D) 2/3
E) 1/2

Cevap : C) 0

Açıklama : Koşullu olasılık sorusudur.
Koşul: Zarlardan en az biri 4’ten büyük (yani 5 veya 6) gelecek. Bu durumlar:
(5,1-6), (6,1-6), (1-4, 5), (1-4, 6). Toplam 20 durum var.
İstenen: Toplamın 5 olması.
Zarlardan biri en az 5 ise, toplamın 5 olabilmesi için diğer zarın 0 olması gerekir. Ancak zarlarda 0 yoktur, en küçük 1 vardır.
Bir zar 5 ise, toplam en az 5+1=6 olur.
Bir zar 6 ise, toplam en az 6+1=7 olur.
Dolayısıyla koşul sağlandığında toplamın 5 olması imkansız olaydır. Olasılık 0’dır.

20. 3x-2 = 5x+3-3x lineer denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {0}
B) {1,2}
C) Çözüm yoktur.
D) {5}
E) Tüm rasyonel sayılar

Cevap : D) {5}

Açıklama : Denklemi düzenleyelim:
Sol taraf: 3x – 2
Sağ taraf: 5x + 3 – 3x = (5x – 3x) + 3 = 2x + 3
Eşitlik: 3x – 2 = 2x + 3
Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa alalım:
3x – 2x = 3 + 2
x = 5
Denklemi sağlayan tek değer 5’tir. Çözüm kümesi {5} olur.