Olasılık ve İstatistik 2024-2025 Vize Soruları

Giriş

İstatistik, verileri toplama, düzenleme, analiz etme ve yorumlama yoluyla belirsizlikler altında karar vermeyi sağlayan bir bilim dalıdır. Araştırmanın sonuçlarının genellenmek istendiği grubun tamamına “ana kütle”, bu kütleden seçilen alt kümeye ise “örneklem” denir. Örneklem, tanımı gereği ana kütleden daha az sayıda olmalı ve onu iyi temsil etmelidir. Bu makalede, istatistiğin temelini oluşturan veri türleri, verileri özetlemek için kullanılan merkezi eğilim ve dağılım ölçüleri incelenecektir.

Verileri Düzenleme ve Sunma

Analizin ilk adımı, verilerin türünü belirlemektir. Ordudaki rütbeler gibi aralarında doğal bir sıralama olan kategorik veriler “ordinal”, cinsiyet gibi sırasız kategoriler “nominal”, boy uzunluğu gibi ölçülebilen ve ondalıklı değer alabilen veriler ise “sürekli nicel” veridir. Veriler, “kümülatif (birikimli) seriler” gibi özel tablolarla düzenlenerek, belirli bir değerden daha az veya daha çok gözlem olup olmadığını görmeyi kolaylaştırır.

Merkezi Eğilim Ölçüleri

Merkezi eğilim ölçüleri, bir veri setinin merkez noktasını veya tipik değerini özetler.

• Aritmetik Ortalama: En yaygın kullanılan ortalamadır. Temel bir özelliği, serideki tüm değerlerin ortalamadan sapmalarının toplamının her zaman “sıfır” olmasıdır.
• Geometrik Ortalama: Özellikle oransal değişimlerin ortalaması için kullanılır. Örneğin, {10, 100, 1000} serisinin aritmetik ortalaması 370 iken, geometrik ortalaması 100’dür.
• Harmonik Ortalama: Hız ve zaman gibi birim başına ifade edilen değerlerin ortalamasında kullanılır.
• Mod: Bir seride en çok tekrar eden değerdir.
• Medyan ve Kartiller: Medyan, sıralı bir seriyi ortadan ikiye bölen değerdir. Kartiller ise seriyi dört eşit parçaya böler; örneğin Q3 (3. çeyrek bölen), verilerin %75’inin altında kaldığı değeri gösterir.

Dağılım ve Yayılım Ölçüleri

Dağılım (yayılım) ölçüleri, verilerin ortalamadan ne kadar uzağa yayıldığını, yani “dağılımını” gösterir.

• Değişim Aralığı (Range): Serideki en büyük ve en küçük değerler arasındaki farktır ve en basit yayılım ölçüsüdür.
• Değişim Katsayısı: Farklı birimlere sahip serilerin değişkenliklerini oransal olarak karşılaştırmaya olanak tanır, ancak hangi ortalamanın kullanılacağını belirlemede bir rolü yoktur.

Dağılımın Şekli

Bir serinin dağılım şekli, çarpıklık ve basıklık gibi ölçümlerle analiz edilir. “Çarpıklık” (asimetri), dağılımın simetrik olup olmadığını gösterir. Örneğin, tasfiye edilen bir firmanın borç dağılımı, genellikle az sayıda çok yüksek borç yerine çok sayıda küçük borçtan oluşacağı için “negatif asimetriye” sahip olma eğilimindedir. “Basıklık” (kurtosis) ise dağılımın tepe noktasının ne kadar sivri veya basık olduğunu ölçer. Basıklık değeri arttıkça, dağılımın şekli daha da “sivrileşir”.

Olasılık ve Kombinatorik

İstatistik, belirsizlikleri ölçmek için olasılık teorisinden faydalanır. Örneğin, bir kesikli rastgele değişkenin olasılık dağılımı tablosundan P(x < 2) gibi olasılıkları hesaplamak mümkündür. Sıralamanın önemli olmadığı gruplama problemlerinde ise kombinasyon kullanılır. Örneğin, 6 kişilik bir gruptan 15 farklı 2 kişilik grup oluşturulabilir.

Sonuç

İstatistiksel analiz, veriye dayalı bir dünya görüşü sunar. Bir veri serisinin dağılımını anlamak için ortalamalar, çarpıklık ve basıklık gibi ölçütlerden yararlanılırken, serinin sadece “tanımı” bu analiz için yeterli değildir. Bu temel istatistiksel araçlar, karmaşık verileri anlamlı bilgilere dönüştürerek daha doğru kararlar almamızı sağlar.

1. Borçlarından dolayı tasfiye edilen bir firmanın borç dağılımına ait asimetri (çarpıklık) durumunu en makul açıklayabilen seçenek hangisidir?

A) Mutlak simetriktir.
B) Her iki tarafı da aynıdır.
C) Negatif asimetriye sahiptir.
D) Pozitif asimetriye sahiptir.
E) Asimetrik bir durumu olamaz.

Cevap : C) Negatif asimetriye sahiptir.

Açıklama :

2.
Yukarıdaki serinin modu aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

A) 48
B) 50
C) 56
D) 54
E) 52

Cevap : A) 48

Açıklama :

3. {10,100,1000} değerlerinin aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması arasındaki fark değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 250
B) 270
C) 300
D) 290
E) 220

Cevap : B) 270

Açıklama : Aritmetik Ortalama: (10 + 100 + 1000) / 3 = 1110 / 3 = 370. Geometrik Ortalama: (10 * 100 * 1000)^(1/3) = (1.000.000)^(1/3) = 100. Fark: 370 – 100 = 270.

4. Örneklem ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) Örneklem ana kütleyi temsil etmelidir.
B) Örneklem ana kütleden fazla sayıda olmalıdır.
C) Örneklem ana kütleden çekilmelidir.
D) Örneklem yeterli sayıda olmalıdır.
E) Örneklem ana kütleden az sayıda olmalıdır.

Cevap : B) Örneklem ana kütleden fazla sayıda olmalıdır.

Açıklama : Örneklem, ana kütlenin (popülasyonun) özelliklerini incelemek amacıyla o ana kütle içerisinden seçilen daha küçük bir alt kümedir. Tanımı gereği, örneklemin birim sayısı ana kütleden fazla olamaz.

5. Serinin en büyük ve en küçük değerleri arasındaki fark aşağıdaki seçeneklerden hangisinde en doğru şekilde ifade edilmiştir?

A) Değişim Katsayısı
B) Standart Hata
C) Varyans
D) Standart Sapma
E) Değişim Aralığı

Cevap : E) Değişim Aralığı

Açıklama : Bir veri serisindeki en büyük gözlem değeri ile en küçük gözlem değeri arasındaki farka “Değişim Aralığı” (Range) denir. Bu, en basit dağılım ölçüsüdür.

6. (12 21 33 45 59)
Yukarıdaki veri kümesi için ∑(X – X̄)’in sonucu hangi seçenekte doğru verilmiştir?

A) 2
B) 0
C) 1
D) 4
E) 3

Cevap : B) 0

Açıklama : Aritmetik ortalamanın temel bir özelliği, serideki tüm değerlerin ortalamadan sapmalarının toplamının her zaman sıfır olmasıdır. Ortalama (X̄) = (12+21+33+45+59)/5 = 34. Sapmaların toplamı: (12-34) + (21-34) + (33-34) + (45-34) + (59-34) = -22 – 13 – 1 + 11 + 25 = 0.

7.
Yukarıdaki serinin Q3 (3. Çeyrek bölen) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 65
B) 67
C) 66
D) 64
E) 68

Cevap : E) 68

Açıklama :

8. Bir firma müşterilerinden oluşan bir grup üzerinde yaptığı çalışmada müşteri memnuniyet oranını yüzde 60 olarak hesaplamıştır. Bu değer aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

A) Ana Kütle
B) Örneklem Tahmini
C) Parametre
D) Örneklem
E) Ana kütle tahmini

Cevap : B) Örneklem Tahmini

Açıklama : Değer, tüm müşteriler (ana kütle) üzerinden değil, onlardan seçilen bir “grup” (örneklem) üzerinden hesaplanmıştır. Örneklemden elde edilen istatistiksel değerlere “örneklem tahmini” veya kısaca “istatistik” denir.

9. Bir serinin basıklığını ifade eden değer arttıkça serinin şekli aşağıdaki hangi bağlamda değişir?

A) Normalleşir.
B) Pürüzsüz hale gelir.
C) Basıklaşır.
D) Netleşir.
E) Sivrileşir.

Cevap : E) Sivrileşir.

Açıklama : Basıklık (kurtosis) katsayısı, bir dağılımın tepe noktasının ne kadar sivri veya basık olduğunu ölçer. Bu değer arttıkça, dağılım normal dağılıma göre daha sivri bir tepeye sahip olur (leptokurtik).

10. “Gözlem değerlerinin ortalamadan uzaklıklarına bakarak verilerin …….. ölçebiliriz.” cümlesinde boş bırakılan yere gelebilecek en uygun ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) ortanca değerini
B) harmonik ortalamasını
C) dağılımını
D) medyan değerini
E) mod değerini

Cevap : C) dağılımını

Açıklama : Varyans, standart sapma, değişim aralığı gibi dağılım (yayılım) ölçüleri, veri noktalarının merkezi bir noktadan (genellikle aritmetik ortalamadan) ne kadar uzağa yayıldığını gösterir.

11.
X kesikli rastlantısal değişkeninin olasılık dağılımı yukarıdaki tabloda verilmiştir.
Buna göre P(x < 2) olasılık değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0,49
B) 0,39
C) 0,8
D) 0,54
E) 0,19

Cevap : E) 0,19

Açıklama :

12. Aşağıdakilerden hangisi değişim katsayısının üstünlüklerinden değildir?

A) Farklı birimlere sahip serilerin karşılaştırılmasını mümkün kılar.
B) Farklı değişkenleri bir arada ele alabilmeye imkan tanır.
C) Oransal bir değişim değeri verir.
D) Ortalamaların tercihini kolaylaştırır.
E) Yüzde olarak karşılaştırma yapmayı mümkün kılar.

Cevap : D) Ortalamaların tercihini kolaylaştırır.

Açıklama : Değişim katsayısı, farklı birimlere veya farklı ortalamalara sahip serilerin yayılımlarını (risklerini/değişkenliklerini) oransal olarak karşılaştırmak için kullanılır. Ortalamaların (aritmetik, geometrik vb.) hangisinin kullanılacağını belirlemede bir rolü yoktur.

13. Bir serinin dağılımını (bölünmesini / şeklini) anlamak için aşağıdaki seçeneklerden hangisinden yararlanmak gerekmez?

A) Basıklıktan
B) Ortalamalardan
C) Momentlerden
D) Tanımından
E) Çarpıklıktan

Cevap : D) Tanımından

Açıklama : Bir serinin dağılım şekli; merkezi eğilim ölçüleri (ortalamalar), çarpıklık (skewness) ve basıklık (kurtosis) gibi istatistiksel ölçümlerle analiz edilir. Momentler de bu ölçümleri hesaplamak için kullanılır. Serinin “tanımı” ise istatistiksel bir analiz aracı değildir.

14.
Yukarıdaki serinin mod değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 32.438
B) 24.438
C) 28.438
D) 30.438
E) 26.438

Cevap : C) 28.438

Açıklama :

15. Kendisinden önceki değerler arasında kaç tanesinin kendisinden daha küçük gözlem değer içerdiğini görebilmeyi sağlayan serilere verilen isim aşağıdakilerden hangisidir?

A) Mukayese İçeren Seri
B) Çoğul Seri
C) Kümülatif (Birikimli) Seri
D) Basit Seri
E) Mukayese İçermeyen Seri

Cevap : C) Kümülatif (Birikimli) Seri

Açıklama : Kümülatif (birikimli) frekans serileri, belirli bir değere kadar olan gözlem sayılarının toplamını gösterir. Bu, “daha az” veya “daha çok” gibi karşılaştırmalar yapmayı sağlar.

16.
Yukarıdaki serinin geometrik ortalaması değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 5.54
B) 8.54
C) 5.56
D) 8.77
E) 6.62

Cevap : A) 5.54

Açıklama :

17. 6 kişilik bir gruptan kaç tane 2 kişilik grup oluşturulabilir?

A) 15
B) 20
C) 10
D) 5
E) 25

Cevap : A) 15

Açıklama : Bu bir kombinasyon problemidir. Sıralamanın önemli olmadığı gruplamalar kombinasyon formülü ile hesaplanır: C(n, k) = n! / [k! * (n-k)!]. C(6, 2) = 6! / [2! * 4!] = (6 * 5) / (2 * 1) = 15.

18. Gruplanmış açık uçlu olmayan serilerde grup / sınıf değerini bulmak için yapılan işlem aşağıdakilerden hangisidir?

A) Gruplanmış sınıfın en yüksek ve en düşük değeri arasındaki farkın yarısı kullanılır.
B) Gruplanmış sınıfın frekans değeri kullanılır.
C) Bu tür gruplanmış serilerde sınıf değeri hesaplanamaz.
D) Gruplanmış sınıfın en yüksek değeri kullanılır.
E) Gruplanmış sınıfın en düşük olan değeri kullanılır.

Cevap : A) Gruplanmış sınıfın en yüksek ve en düşük değeri arasındaki farkın yarısı kullanılır.

Açıklama :

19.
Yukarıdaki serinin Harmonik ortalaması aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru verilmiştir? (Sonucu tamsayı olacak biçimde yuvarlayınız.)

A) 9
B) 5
C) 7
D) 3
E) 11

Cevap : D) 3

Açıklama :

20. Ordudaki rütbeler – Cinsiyet – Bir insanın boy uzunluğu
Yukarıdaki verilerin türleri aşağıdaki hangi şıkta doğru olarak sıralanmıştır?

A) Ordinal – sürekli nicel – nominal
B) Sürekli nicel – ordinal – nominal
C) Sürekli nicel – nominal – ordinal
D) Ordinal – nominal – sürekli nicel
E) Nominal – ordinal – sürekli nicel

Cevap : D) Ordinal – nominal – sürekli nicel

Açıklama : “Ordudaki rütbeler” arasında bir üstünlük sıralaması vardır (Ordinal). “Cinsiyet” kategoriktir ve aralarında bir sıralama yoktur (Nominal). “İnsanın boy uzunluğu” ise ondalıklı değerler alabilen, ölçülebilir bir veridir (Sürekli Nicel).