Temel Matematik (Matematik 1) 2024-2025 Vize Soruları

Giriş

Temel matematik, günlük hayattaki problemleri çözmekten daha ileri bilimsel konuları anlamaya kadar geniş bir yelpazede kullanılan temel mantıksal araçları ve kavramları içerir. Bu alanın temelini sayılar ve kümeler oluşturur. Örneğin, “doğal sayılar” kümesi 0, 1, 2 gibi pozitif tam sayıları ve sıfırı içerirken, “-3” gibi negatif sayıları içermez. Bu makalede, temel matematiğin üç ana konusu olan kümeler, denklemler ve fonksiyonlar ele alınacaktır.

Kümeler Teorisi

Kümeler, nesnelerin bir araya gelerek oluşturduğu topluluklardır ve Venn şemaları ile görselleştirilebilirler. Bir küme, A = {x | 2 ≤ x < 5, x ∈ N} şeklinde özellik belirterek yazılabileceği gibi, {2, 3, 4} şeklinde liste yöntemiyle de gösterilebilir. Venn şemalarında taralı bölgeler, küme işlemlerini ifade eder. Örneğin, A veya B kümesinde olup C kümesinde olmayan elemanlar (A∪B)\C şeklinde gösterilir. Kümeler teorisi, aynı anda birden fazla derse katılan öğrenci sayısını bulmak gibi pratik problemlerin çözümünde de kullanılır.

Denklemler ve Eşitsizlikler

Cebir, bilinmeyenleri içeren eşitlikleri (denklemler) ve eşitsizlikleri çözme yöntemlerini inceler.

• Mutlak Değerli Denklemler: |2x – 1| = 7 gibi bir denklem, 2x-1 = 7 ve 2x-1 = -7 olmak üzere iki ayrı denklem çözülerek bulunur. Bu denklemin çözüm kümesi {-3, 4} olur.
• İkinci Dereceden Denklemler: (3x/5) + (30/x) = 11 gibi rasyonel ifadeler içeren denklemler, paydalar eşitlenerek ikinci dereceden bir denkleme (3x² – 55x + 150 = 0) dönüştürülerek çözülebilir.
• Çarpanlara Ayırma: 3x²+7xy-6y² gibi ifadeler, (3x-2y)(x+3y) şeklinde çarpanlarına ayrılarak problem çözümünde kolaylık sağlar.
• Eşitsizlikler: x² – 16 > 0 gibi bir eşitsizliğin çözüm aralığı, ifadenin kökleri (-4 ve 4) bulunduktan sonra işaret tablosu yapılarak (-∞, -4) U (4, ∞) olarak bulunur.

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyon, bir kümenin her bir elemanını başka bir kümenin yalnız bir elemanıyla eşleyen bir kuraldır. Bir grafiğin fonksiyon olup olmadığını anlamak için “düşey doğru testi” kullanılır. Bu teste göre, parabol ve doğru grafikleri birer fonksiyon iken, çember bir fonksiyon değildir.

• Doğrusal Fonksiyonlar: Grafiği bir doğru olan fonksiyonlardır. Örneğin, x eksenini 4’te, y eksenini 5’te kesen bir doğrunun denklemi 5x + 4y – 20 = 0 şeklindedir.
• İkinci Dereceden Fonksiyonlar: Grafiği “parabol” şeklinde olan bu fonksiyonlarda, x²’nin katsayısı pozitif ise parabolün kolları yukarı doğrudur. y = 2x² – 20x fonksiyonunda kollar yukarı doğrudur. y=(x-3)²-1 fonksiyonu ise tepe noktası (3, -1) olan bir paraboldür.
• Fonksiyonlarda İşlemler: Fonksiyonların belirli bir noktadaki değeri veya tanım kümesi bulunabilir. Örneğin, f(x) = x^(1/2) + log x fonksiyonunun x=100 için değeri 12’dir. İki fonksiyonun bileşkesi de hesaplanabilir; (g o f)(1), önce f(1)’in bulunup, sonucun g fonksiyonunda yerine konmasıyla elde edilir.

Sonuç

Temel matematik, mantıksal düşünme ve problem çözme becerilerinin temelini oluşturur. Bir litre sütün maliyeti, satış fiyatı ve günlük sevk edilen miktar bilindiğinde, elde edilen kârdan yola çıkarak toplam paketleme maliyetini hesaplamak gibi gerçek hayat problemleri, bu temel matematiksel araçlar kullanılarak çözülebilir. Kümelerden fonksiyonlara kadar her bir konu, dünyayı daha analitik bir gözle anlamamızı sağlar.

1. Bir sınıftaki tüm öğrencilerden 50’si matematik dersini, 60’ı istatistik dersini, 70’i de bilgisayar dersini almaktadır. Matematik ve istatistik derslerini birlikte alan 15, istatistik ve bilgisayar derslerini birlikte alan 25, matematik ve bilgisayar derslerini birlikte alan 20 öğrenci bulunmaktadır. Her üç dersi alan 5 öğrenci bulunduğuna göre, bu sınıfta toplam kaç öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 120
B) 90
C) 180
D) 150
E) 125

Cevap : E) 125

Açıklama : Kümeler formülünü kullanarak: Toplam = M + İ + B – (M∩İ) – (İ∩B) – (M∩B) + (M∩İ∩B). Toplam = 50 + 60 + 70 – 15 – 25 – 20 + 5 = 180 – 60 + 5 = 125.

2.

Yukarıdaki Venn Şemasında gösterilen koyu bölge aşağıdaki kümelerden hangisi ile tarif edilir?

A) (A∩B)(A∩C)
B) (A∩B)\C
C) C(A∪B)
D) A∩B∩C
E) A∪B∪C

Cevap : C) C(A∪B)

Açıklama : Taralı alan, C kümesinde bulunan ancak A veya B kümelerinde bulunmayan elemanları göstermektedir. Bu durum, “C’nin A birleşim B’den farkı” olarak ifade edilir ve matematiksel olarak C(A∪B) şeklinde yazılır.

3. Aşağıdakilerden hangisi doğal sayılar kümesinin (N) bir elemanı değildir?

A) Ine
B) √9
C) 20/5
D) 2
E) -3

Cevap : E) -3

Açıklama : Doğal sayılar kümesi (N) genellikle {0, 1, 2, 3, …} şeklinde pozitif tam sayıları ve sıfırı içerir. Negatif tam sayılar bu kümenin bir elemanı değildir. √9=3, 20/5=4 olduğundan diğer şıklar doğal sayıdır.

4. Aşağıdaki grafiklerden hangisi ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğidir?

A)
B)
C)
D)
E)

Cevap : B)

Açıklama :

5. |2x – 1| = 7
Denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {-3}
B) {3, -4}
C) {4}
D) {-3, 4}
E) {3, 4}

Cevap : D) {-3, 4}

Açıklama : Mutlak değerli bir denklemde iki olasılık vardır: 1) 2x – 1 = 7 → 2x = 8 → x = 4. 2) 2x – 1 = -7 → 2x = -6 → x = -3. Çözüm kümesi {-3, 4} olur.

6. 3x-2y = 10 ve x+3y=40 olduğuna göre 3x²+7xy-6y² ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 10
B) 1700
C) 200
D) 400
E) 40

Cevap : D) 400

Açıklama : 3x²+7xy-6y² ifadesi çarpanlarına (3x-2y)(x+3y) şeklinde ayrılır. Soruda verilen değerler bu çarpanlara karşılık geldiği için sonuç: 10 * 40 = 400.

7. y = 2x² – 20x fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğru değildir?

A) Fonksiyon orijin noktasından geçer.
B) Fonksiyon y eksenini tek noktada keser.
C) Parabolün tepe noktasının apsisi x=5’tir.
D) Parabolün kolları aşağı doğrudur.
E) Fonksiyon x eksenini iki noktada keser.

Cevap : D) Parabolün kolları aşağı doğrudur.

Açıklama : İkinci dereceden bir fonksiyonda x²’nin katsayısı (a) pozitif ise parabolün kolları yukarı doğrudur. Bu fonksiyonda a=2 olduğu için kollar yukarı doğrudur. “Aşağı doğrudur” ifadesi yanlıştır.

8.

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi yukarıda verilen noktalardan geçer?

A) y=(x+3)²-1
B) y=(x-3)²-1
C) y=(x+3)²-1
D) y=(x+3)²
E) y=x+3

Cevap : B) y=(x-3)²-1

Açıklama : Grafikteki tepe noktası (3, -1)’dir. Tepe noktası (r, k) olan bir parabolün denklemi y = a(x-r)² + k şeklindedir. Verilenleri yerine koyarsak y = a(x-3)² – 1 elde edilir. (a=1 olduğu varsayılarak) doğru denklem B şıkkındadır.

9. (3x/5) + (30/x) = 11
Denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {-3, 15}
B) {-5, 15}
C) {10/3, 15}
D) {-5, 10}
E) {5, 10/3}

Cevap : C) {10/3, 15}

Açıklama : Denklemin her iki tarafı 5x ile çarpılarak düzenlenirse: 3x² + 150 = 55x → 3x² – 55x + 150 = 0. Bu ikinci dereceden denklemin kökleri x=15 ve x=10/3 olarak bulunur.

10.

Yukarıda verilen Venn şemasına göre koyu bölge aşağıdakilerden hangisidir?

A) A\B
B) C(A∪B)
C) (A∩B)\C
D) (A∪B)\C
E) B\A

Cevap : D) (A∪B)\C

Açıklama : Taralı alan, A veya B kümesinde bulunan ancak C kümesinde bulunmayan elemanları göstermektedir. Bu durum “A birleşim B kümesinin C kümesinden farkı” olarak ifade edilir ve (A∪B)\C şeklinde yazılır.

11. Aşağıda verilen Venn şemalarına göre, hangisi A kümesinden B kümesine bir fonksiyon (f:A→B) oluşturmaz?

A)
B)
C)
D)
E)

Cevap : B)

Açıklama :

12. x² – 16 > 0
Eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) (4, ∞)
B) (-∞, -4] U [4, ∞)
C) (-∞, -4)
D) (-4, 4)
E) (-∞, -4) U (4, ∞)

Cevap : E) (-∞, -4) U (4, ∞)

Açıklama : x² > 16 eşitsizliğinin kökleri x=4 ve x=-4’tür. Eşitsizlik tablosu yapıldığında, ifadenin pozitif olduğu aralıklar -4’ten küçük ve 4’ten büyük değerlerdir. Bu da (-∞, -4) U (4, ∞) aralığına karşılık gelir.

13. g(x) = x² – 4 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A)
B)
C)
D)
E)

Cevap : C)

Açıklama :

14. A = {x | 2 ≤ x < 5, x ∈ N}
Yukarıda özellik vererek tarif edilmiş küme aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) {2, 3, 4}
B) {3, 4, 5}
C) {}
D) {3, 4}
E) {1, 2, 3, 4}

Cevap : A) {2, 3, 4}

Açıklama : Küme, 2’ye eşit veya büyük, 5’ten küçük olan doğal sayıları (N) içermektedir. Bu sayılar 2, 3 ve 4’tür.

15. f(x) = x^(1/2) + log x
Yukarıda verilen fonksiyon x=100 için değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0
B) 12
C) 10
D) 1
E) 2

Cevap : B) 12

Açıklama : x^(1/2) = √x demektir. x=100 için √100 = 10. log x (taban belirtilmediğinde 10’luk logaritmadır) log(100) = log(10²) = 2’dir. Sonuç: 10 + 2 = 12.

16.

Yukarıda verilen grafiklerden hangisi veya hangileri iki boyutlu koordinat sisteminde bir fonksiyon belirtir?

A) 1 ve 2
B) 2 ve 3
C) 1 ve 4
D) 2 ve 4
E) Yalnız 1

Cevap : C) 1 ve 4

Açıklama : Bir grafiğin fonksiyon belirtip belirtmediğini anlamak için “düşey doğru testi” yapılır. y eksenine paralel çizilen bir doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa o grafik bir fonksiyon değildir. Bu teste göre parabol (1) ve doğru (4) birer fonksiyondur. S eğrisi (2) ve çember (3) ise fonksiyon değildir.

17. Bir litre cam şişede hazırlanan sütler dörderli olarak paketlenip bayilere sevk edilmektedir. Şişe sütün maliyeti 11 TL olup 15 TL etiket fiyatı ile satışa sunulmaktadır. Günde 1 ton süt sevkedildiğine ve elde edilen kar 3500 TL olduğuna göre şişeler için toplam paketleme maliyeti ne kadar olur?

A) 500 TL
B) 1000 TL
C) 1250 TL
D) 750 TL
E) 250 TL

Cevap : A) 500 TL

Açıklama : 1 ton süt = 1000 litre = 1000 şişe. Şişe başına brüt kâr = 15 – 11 = 4 TL. Toplam brüt kâr = 1000 şişe * 4 TL/şişe = 4000 TL. Net kâr 3500 TL ise, Toplam Paketleme Maliyeti = Toplam Brüt Kâr – Net Kâr = 4000 – 3500 = 500 TL.

18. f(x) = √(x² – 8x + 25)
Fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x ∈ R
B) (5, ∞)
C) (0, ∞)
D) (-5, 8)
E) x < 0

Cevap : A) x ∈ R

Açıklama : Kareköklü bir ifadenin tanımlı olabilmesi için kökün içinin 0’a eşit veya büyük olması gerekir. x² – 8x + 25 ifadesinin diskriminantı (Δ = b² – 4ac) = (-8)² – 4125 = 64 – 100 = -36. Diskriminant negatif olduğu için ifadenin reel kökü yoktur ve daima x²’nin katsayısının işaretiyle aynıdır, yani daima pozitiftir. Bu nedenle fonksiyon tüm reel sayılar (R) için tanımlıdır.

19.

Yukarıda verilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4x + 5y – 20 = 0
B) y = 5x + 20
C) y = 4x + 5
D) y = 5x + 4
E) 5x + 4y – 20 = 0

Cevap : E) 5x + 4y – 20 = 0

Açıklama : Eksenleri (a,0) ve (0,b) noktalarında kesen doğrunun denklemi x/a + y/b = 1’dir. Grafiğe göre doğru x eksenini a=4, y eksenini b=5’te kesmektedir. Denklem: x/4 + y/5 = 1. Paydaları eşitlersek (5x + 4y) / 20 = 1 → 5x + 4y = 20 → 5x + 4y – 20 = 0.

20. f(x) = { 5x-2, x<1 ; 2x+1, x≥1 } ve g(x) = { 2x+4, x≤3 ; 6x-1, x>3 }
Yukarıda f(x) ve g(x) fonksiyonları tanımlanmıştır. Buna göre (g o f)(1) kaçtır?

A) 10
B) 8
C) 9
D) 11
E) 12

Cevap : A) 10

Açıklama : (g o f)(1) = g(f(1)). Önce f(1)’i bulmalıyız. f fonksiyonunda x≥1 kuralı geçerli olduğu için f(1) = 2(1) + 1 = 3. Şimdi g(3)’ü bulmalıyız. g fonksiyonunda x≤3 kuralı geçerli olduğu için g(3) = 2(3) + 4 = 10.