Olasılık ve İstatistik 2024-2025 Bütünleme Soruları

Olasılık Kuramı ve Koşullu Durumlar

Olasılık, rastgele olayların matematiksel olarak incelenmesidir. Günlük hayatta karşılaştığımız karmaşık senaryoları analiz etmek için Bayes Teoremi en güçlü araçlardan biridir. Bu teorem, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, bu olaya neden olan faktörlerin olasılığını günceller. Örneğin, yurt dışına satılan bir dizinin Türkiye’de de beğenilme olasılığını hesaplarken, mevcut tüm koşullu ihtimalleri (beğenilme/beğenilmeme ve satış oranları) birleştirerek 0,1515 gibi net bir sonuca ulaşabiliriz. Benzer şekilde, bir sınıftan rastgele seçilen başarısız bir öğrencinin yabancı uyruklu olma olasılığı gibi koşullu olasılık problemleri, küme içi oranların doğru analizine dayanır.

Betimsel İstatistik: Merkezi Eğilim ve Yayılım

Veriyi özetlemek için kullanılan merkezi eğilim ölçüleri arasında aritmetik ortalama, veriyi ikiye bölen medyan (ortanca) ve en çok tekrar eden mod yer alır. Verilerin büyüklük sırasına dizildiği bir seride tam ortadaki değer medyan iken, tartılı (ağırlıklı) aritmetik ortalama her bir verinin önem derecesine göre hesaplanır. Yayılımı ölçmek için ise Varyans ve Standart Sapma kullanılır. Farklı birimlerdeki verileri karşılaştırmak için kullanılan Z-puanı, bireyin grup içindeki konumunu netleştirir. Örneğin, puanı tam ortalamaya eşit olan birinin Z-puanı 0’dır ve bu kişi tam sınıf ortalamasında bir başarı göstermiş sayılır.

$$Z = \frac{x – \mu}{\sigma}$$

Olasılık Dağılımları: Binom ve Poisson

Rastgele değişkenlerin davranışları belirli dağılım modellerine uyar. Deneme sayısının ($n$) sabit olduğu ve sadece iki sonucun (başarı/başarısızlık) bulunduğu durumlarda Binom Dağılımı kullanılır. Örneğin, 64 kez atılan bir paranın turalarının standart sapmasını hesaplarken $\sqrt{n \cdot p \cdot q}$ formülüyle 4 sonucuna ulaşılır. Öte yandan, belirli bir zaman veya alan diliminde nadir görülen olayları (bir sayfadaki imla hatası sayısı veya 30 dakikada gelen müşteri sayısı gibi) modellemek için Poisson Dağılımı devreye girer. Poisson, deneme sayısının çok büyük, başarı olasılığının ise çok düşük olduğu durumlarda Binom’a yaklaşır.

Hipotez Testleri ve İstatistiksel Hatalar

Bilimsel araştırmalarda bir iddiayı test etmek için birbirine karşıt olan $H_0$ (Sıfır) ve $H_1$ (Alternatif) hipotezleri kurulur. Karar verme sürecinde iki tip hata yapılabilir:

• Tip I Hata ($\alpha$ Hatası): Gerçekte doğru olan bir $H_0$ hipotezinin yanlışlıkla reddedilmesidir.
• Tip II Hata ($\beta$ Hatası): Gerçekte yanlış olan bir $H_0$ hipotezinin reddedilememesidir.

Ölçüm aşamasında ise, anketörün hatalı kodlama yapması gibi tesadüfi hatalar örneklem hacmi büyüdükçe birbirini tolere edebilir; ancak bozuk bir cihazın sürekli yanlış ölçmesi sistematik hata olarak adlandırılır ve analizin geçerliliğini bozar.

Beklenen Değer ve Veri Görselleştirme

Bir eylemin uzun vadeli ortalama sonucunu ifade eden Beklenen Değer ($E[X]$), ekonomik kararlarda (petrol arama kazancı gibi) veya olasılık yoğunluk fonksiyonlarının çözümünde kullanılır. Verilerin görsel sunumunda ise, toplamın 360 derece kabul edildiği daire grafikleri, kategorik oranların açısal ölçümlerle ifadesini sağlar. Örneğin, %35’lik bir pay, daire üzerinde 126 derecelik bir dilime karşılık gelir.

1. Türkiye’de TV dizilerinin yüzde 20’si beğenilmekte ve bunların yüzde 50’si ise yurt dışına satılmaktadır. Beğenilmeyenlerin ise yüzde 70’i yurtdışına satılmaktadır. Bir dizinin yurt dışına satılması durumunda ülkemizde de beğenilen dizi olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0,1515
B) 0,1130
C) 0,4020
D) 0,5515
E) 0,1850

Cevap : A) 0,1515

Açıklama : Bayes Teoremi kullanılır.
P(Beğenilen) = 0.20, P(Beğenilmeyen) = 0.80.
P(Satıldı|Beğenilen) = 0.50, P(Satıldı|Beğenilmeyen) = 0.70.
P(Satıldı) = (0.50 * 0.20) + (0.70 * 0.80) = 0.10 + 0.56 = 0.66.
P(Beğenilen|Satıldı) = (P(Satıldı|Beğenilen) * P(Beğenilen)) / P(Satıldı)
= 0.10 / 0.66 = 0.1515.

2. Yuvarlama işlemi aşağıdaki seçeneklerden hangisinde yanlıştır?

A) 19.006777 – 19.007
B) 10.001488 – 10.001
C) 17.589211 – 17.589
D) 15.127882 – 15.127
E) 12.256956 – 12.257

Cevap : D) 15.127882 – 15.127

Açıklama : Yuvarlama kurallarına göre, atılan ilk basamak 5 veya 5’ten büyükse önceki basamak bir artırılır. D şıkkında 15.127882 sayısı 3 ondalık basamağa yuvarlanırken, 4. basamak “8” olduğu için 3. basamak “7” bir artırılarak “8” olmalıydı (15.128). Bu nedenle 15.127 ifadesi yanlıştır.

3. f(x) = 1/36 (x+3),
0 < x < 6
Yukarıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonunun beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) X = 3,5
B) X = 3
C) X = 1,5
D) X = 2
E) X = 2,5

Cevap : A) X = 3,5

Açıklama : Beklenen değer E[X] = ∫ x * f(x) dx formülü ile hesaplanır.
E[X] = ∫ (0’dan 6’ya) x * (1/36)(x+3) dx = (1/36) * ∫ (x^2 + 3x) dx
= (1/36) * [x^3/3 + 3x^2/2] (0’dan 6’ya)
= (1/36) * [(216/3) + (108/2)] = (1/36) * (72 + 54) = 126 / 36 = 3.5.

4. Bir işletmede üretilen ürünlerin yüzde 6’sının defolu olduğu bilinmektedir. Rastgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen, 1 tanesinin defolu olmasının olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0,288
B) 0,062
C) 0,158
D) 0,226
E) 0,234

Cevap : E) 0,234

Açıklama : Binom olasılığı kullanılır. n=5, p=0.06, x=1.
P(X=1) = C(5,1) * (0.06)^1 * (0.94)^4
= 5 * 0.06 * 0.7807 = 0.2342.

5. Herhangi hipotez testinin gerçekleşebilmesi için birbirine ….. olan iki hipoteze gerek vardır.
Yukarıdaki cümlede boş bırakan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir?

A) betimleyici
B) denge
C) karşıt
D) destek
E) tamamlayıcı

Cevap : C) karşıt

Açıklama : Hipotez testlerinde H0 (Sıfır) ve H1 (Alternatif) hipotezleri birbirinin tersi, yani **karşıt** (mutually exclusive) durumları ifade etmelidir ki biri reddedildiğinde diğeri kabul edilebilsin.

6.

Bir öğrenci Türkçe dersinden 70, Müzik dersinden 80 almıştır. Bu derslere ilişkin sınıf ortalamaları ve standart sapmaları yukarıdaki gibidir. Bu bilgiler doğrultusunda aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Öğrenci Müzik dersinde sınıf ortalamasının 2 standart sapma altında kalmıştır.
B) Öğrenci Müzik dersinde tam sınıf ortalamasında bir başarı göstermiştir.
C) Öğrenci Türkçe dersinde sınıf ortalamasının üzerinde bir başarı göstermiştir.
D) Öğrenci Türkçe dersinde tam sınıf ortalamasında bir başarı göstermiştir.
E) Öğrenci Türkçe dersinde sınıf ortalamasının standart sapma altında kalmıştır.

Cevap : D) Öğrenci Türkçe dersinde tam sınıf ortalamasında bir başarı göstermiştir.

Açıklama : Z puanı hesaplanır. Türkçe için: Z = (70 – 70) / 5 = 0. Müzik için: Z = (80 – 60) / 20 = 1.
Türkçe dersinde Z=0 olduğu için öğrenci tam sınıf ortalamasındadır.

7. Homojen bir para 64 kez atılıyor.
Bulunan turaların sayısının standart sapması değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4
B) 2
C) 6
D) 8
E) 10

Cevap : A) 4

Açıklama : Binom dağılımında standart sapma = kök(n * p * q).
n = 64, p = 0.5 (tura), q = 0.5.
Std = kök(64 * 0.5 * 0.5) = kök(16) = 4.

8. Bir ayakkabı fabrikasında üretilen ürünlerde hatalı ürün oranı yüzde 1 olarak tespit edilmiştir. Tesadüfen seçilen 200 ayakkabılık bir örneklem içinde 3 tanesinin hatalı olma olasılığı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0.4025
B) 0.2275
C) 0.1805
D) 0.4775
E) 0,1270

Cevap : C) 0.1805

Açıklama : Poisson dağılımı (n büyük, p küçük olduğu için) uygundur. Lambda = n * p = 200 * 0.01 = 2.
P(X=3) = (e^-2 * 2^3) / 3! = (0.1353 * 8) / 6 = 0.1804. (Binom ile de benzer sonuç çıkar).

9. Aşağıdakilerden hangisi istatistiksel analiz sonuçlarını etkilemeyeceği düşünülen ve örneklem hacmi büyüdükçe birbirini tolere eden hata türüne bir örnektir?

A) Metrenin 1 cm eksik ölçmesi
B) Termometrenin normalden 1.5 derece yüksek göstermesi
C) Anketörün cinsiyetlerden bazılarını yanlış kodlaması
D) Daktilonun b yerine v harfi basması
E) Tartının sürekli olarak 10 gr. fazla tartması

Cevap : C) Anketörün cinsiyetlerden bazılarını yanlış kodlaması

Açıklama : Hata türleri “Sistematik” ve “Tesadüfi (Rastgele)” olarak ikiye ayrılır. A, B, D ve E şıkları ölçüm aracının bozukluğundan kaynaklanan ve hep aynı yönde (yanlı) sonuç veren **Sistematik** hatalardır. C şıkkındaki anketörün *bazılarını* yanlış kodlaması (insan hatası) yönü belli olmayan **Tesadüfi** bir hatadır ve örneklem büyüdükçe bu hatalar birbirini götürebilir (tolere edilebilir).

10.

Bir okuldaki 200 öğrenciye derslerin blok halinde yapılması fikri sorulmuştur. Öğrencilerin kararlarına ilişkin bilgi tablodaki gibidir. Tablodaki bilgilere göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) P(K/B)=0.75
B) P(K/T)=0.6
C) P(R/K)=0.25
D) P(E/T)=0.4
E) P(R/E)=0.225

Cevap : E) P(R/E)=0.225

Açıklama : P(R/E) = (Ret diyen Erkek) / (Toplam Erkek).
Tabloya göre; Toplam Erkek = 80, Ret diyen Erkek = 45.
P(R/E) = 45 / 80 = 0.5625. Şıkta 0.225 dendiği için bu ifade yanlıştır.

11.

Yukarıdaki serinin kartiller arası fark değeri (yani Q3-Q1) aşağıdakilerden hangisidir?

A) 30.971
B) 24.971
C) 28.971
D) 32.971
E) 26.971

Cevap : B) 24.971

Açıklama : (N+1) formülü ile hesaplandığında;
Q1 ≈ 23.53, Q3 ≈ 48.5.
Q3 – Q1 = 48.5 – 23.53 = 24.97.

12. Bir mağazaya Pazartesi günleri 30 dakikada ortalama 2 müşteri gelmektedir. Yine bir Pazartesi günü bu mağazaya hiç müşteri gelmeme olasılığı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0.145
B) 0.175
C) 0.165
D) 0.155
E) 0.135

Cevap : E) 0.135

Açıklama : Poisson dağılımı. Lambda = 2. X = 0.
P(X=0) = (e^-2 * 2^0) / 0! = e^-2 = 1 / 2.718^2 ≈ 0.1353.

13. Bir sınıfta 30 yerli ve 10 yabancı uyruklu öğrenci vardır. Matematik sınavında 8 yerli uyruklu ve 2 yabancı uyruklu öğrenci başarısız olmuştur. Bu sınıftan seçilen bir kişinin başarısız olduğu bilindiğine göre, bu kişinin yabancı uyruklu olma olasılığı kaçtır?

A) 0.3
B) 0.6
C) 0.5
D) 0.2
E) 0.4

Cevap : D) 0.2

Açıklama : Koşullu olasılık. P(Yabancı | Başarısız).
Toplam Başarısız Sayısı = 8 (Yerli) + 2 (Yabancı) = 10.
İstenen durum (Yabancı ve Başarısız) = 2.
Olasılık = 2 / 10 = 0.2.

14. Gerçekte doğru olan H0 hipotezi reddedildiğinde aşağıdaki hata tiplerinden hangi tip hata gerçekleşmiş olur?

A) γ Hatası
B) 1-β Hatası
C) α Hatası
D) β Hatası
E) 1-α Hatası

Cevap : C) α Hatası

Açıklama : Doğru olan bir H0 hipotezinin yanlışlıkla reddedilmesi durumuna istatistikte **Tip I Hata** veya **Alfa (α) Hatası** denir.

15. Bir şirket A bölgesinde petrol arama çalışmalarına başlamıştır. Eğer şirket A bölgesinde az petrol bulursa kazancı 100.000 $, çok petrol bulursa kazancı 170.000 $ ve hiç petrol bulamazsa kaybı 80.000 $ olacaktır. Bu üç durumun olasılıkları sırasıyla şöyledir: 0.5; 0.25; 0.25. Şirketin beklenen kazancı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 52.500 $
B) 72.500 $
C) 82.500 $
D) 92.500 $
E) 62.500 $

Cevap : B) 72.500 $

Açıklama : Beklenen Değer (EV) = Σ (Olasılık * Değer)
EV = (0.5 * 100.000) + (0.25 * 170.000) + (0.25 * -80.000)
= 50.000 + 42.500 – 20.000 = 72.500 $.

16. Bir şehirde yaşayan 50000 kişinin yüzde 15’i üniversite mezunu, yüzde 35’i lise, kalanlar ilköğretim mezunudur. Bu seri daire grafiği ile gösterilmek istenirse lise mezunlarına ait dilimin açısal ölçüm değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 260
B) 126
C) 272
D) 54
E) 180

Cevap : B) 126

Açıklama : Daire grafiği 360 derecedir. Lise mezunu oranı yüzde 35 (0.35).
Açı = 360 * 0.35 = 126 derece.

17. 𝑓(𝑥) = 1/36 (𝑥 + 3)
0 < 𝑥 < 6
Yukarıda yer alan olasılık yoğunluk fonksiyonuna ait varyans değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) Var(X)=2,25
B) Var(X)=2,75
C) Var(X)=3,75
D) Var(X)=1,75
E) Var(X)=3,25

Cevap : B) Var(X)=2,75

Açıklama :

18. 200 sayfalık bir kitaba 100 imla hatası rastgele dağıtılıyor. Rastgele seçilen bir sayfada 2 imla hatası olma ihtimali değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0,0858
B) 0,1958
C) 0,2958
D) 0,0758
E) 0,0958

Cevap : D) 0,0758

Açıklama : Poisson dağılımı. Ortalama hata (lambda) = 100 / 200 = 0.5.
P(X=2) = (e^-0.5 * 0.5^2) / 2!
= (0.6065 * 0.25) / 2 = 0.0758.

19. Aşağıdaki olaylardan hangisi Poisson dağılımına uymaz?

A) Bir sayfadaki imla hatalarının sayısı
B) 10 dönümlük bir ormanda bulunan ağaç sayısı
C) Bir havalimanına bir saat boyunca inen uçakların sayısı
D) Bir kavşakta bir yılda meydana gelen ortalama kaza sayısı
E) Homojen bir paranın 5 defa atılması sonucunda üste gelen yazıların sayısı

Cevap : E) Homojen bir paranın 5 defa atılması sonucunda üste gelen yazıların sayısı

Açıklama : Poisson dağılımı, belirli bir zaman veya alanda nadir görülen olayların sayısını modeller. A, B, C ve D şıkları buna örnektir. Ancak E şıkkı (para atışı), deneme sayısı (n) küçük ve sabit olduğu, olasılık (p) 0.5 olduğu için **Binom Dağılımı**na uyar, Poisson’a değil.

20.

Yukarıdaki serinin tartılı aritmetik ortalama değeri aşağıdaki hangisidir?

A) 5.9
B) 7.4
C) 6.3
D) 4.7
E) 8.1

Cevap : A) 5.9

Açıklama : Tartılı Ortalama = Σ(Xi * Ti) / ΣTi
Σ(Xi * Ti) = (8*6) + (6*9) + (5*1) + (2*8) + (9*6) = 48 + 54 + 5 + 16 + 54 = 177.
ΣTi = 6 + 9 + 1 + 8 + 6 = 30.
Ortalama = 177 / 30 = 5.9.