Olasılık ve İstatistik 2025-2026 Final Soruları

Olasılığın Temelleri ve Koşullu Durumlar

İstatistik biliminin kalbinde yer alan olasılık teorisi, belirsiz durumlar altında rasyonel kararlar almamızı sağlar. Bir yatırımın veya operasyonun uzun vadeli ortalama sonucunu ifade eden Beklenen Değer (Expected Value), finansal risk yönetiminde kritik bir araçtır. Petrol arama örneğinde olduğu gibi, kazanç ve kayıpların olasılıklarla ağırlıklandırılması (), stratejik yol haritasını belirler. Daha karmaşık senaryolarda ise, bir olay gerçekleştikten sonra nedenlerine dair olasılıkları güncellememizi sağlayan Bayes Teoremi devreye girer. Bir TV dizisinin yurt dışına satılması (sonuç) bilgisinden hareketle, Türkiye’de beğenilme olasılığını (neden) hesaplamak, koşullu olasılık mantığının en somut uygulamasıdır.

Kesikli ve Sürekli Olasılık Dağılımları

Verinin doğası, kullanılacak matematiksel modeli belirler:

• Binom Dağılımı: Sadece iki sonucun (başarı/başarısızlık, defolu/sağlam) olduğu, denemelerin bağımsız olduğu durumları modeller. 64 kez atılan bir paradaki turaların yayılımı veya 5 üründen birinin defolu çıkma ihtimali bu modelle çözülür.
• Poisson Dağılımı: Belirli bir zaman veya alan diliminde nadir görülen olayları (bir kitaptaki imla hataları, fabrikadaki hatalı ürün sayısı) analiz etmek için idealdir. Özellikle deneme sayısı () çok büyük, olasılık () çok düşükse Binom’un yerini alır.
• Sürekli Dağılımlar (Normal Dağılım): Boy, kilo ve sıcaklık gibi ölçülebilir değişkenlerin oluşturduğu çan eğrisi modelidir. Z-puanı analizi ile bir öğrencinin başarısı sınıf ortalamasına göre standartlaştırılarak () objektif bir kıyaslama imkanı sunar.

Betimsel İstatistik ve Veri Görselleştirme

Veriyi sadece toplamak yetmez, onu anlamlı bir hikayeye dönüştürmek gerekir. Sınıflanmış serilerde verinin dağılım şeklini ve yoğunluğunu görmek için en uygun araç bitişik sütunlardan oluşan Histogramdır. Dağılımın yaygınlığını ölçen en kaba değer Değişim Aralığı (Range) iken; varyans ve standart sapma, verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını hassas bir şekilde ölçer. İstatistiğin en temel matematiksel yasalarından biri, bir serideki tüm değerlerin ortalamadan sapmalarının toplamının daima sıfır olmasıdır; bu, aritmetik ortalamanın serinin “ağırlık merkezi” olduğunu kanıtlar.

Hipotez Testleri ve Hata Analizi

Bilimsel bir iddiayı doğrulamak için kurulan birbirine karşıt hipotezler ( ve ), istatistiksel testlerin temelini oluşturur. Bu süreçte iki tip risk mevcuttur: Tip I Hata (), yani masum birini suçlamak gibi doğru olanı reddetmek; ve Tip II Hata (), yani suçlu birini serbest bırakmak gibi yanlışı kabul etmektir. Ölçüm sürecinde ise, örneklem hacmi büyüdükçe birbirini tolere eden tesadüfi hatalar (anketörün yanlış kodlaması gibi) ile her ölçümde aynı yönde sapma yapan sistematik hatalar (bozuk terazi gibi) arasındaki farkı bilmek, analizin güvenilirliği (validity) açısından hayati önem taşır.

1. Bir şirket A bölgesinde petrol arama çalışmalarına başlamıştır. Eğer şirket A bölgesinde az petrol bulursa kazancı 100.000 $, çok petrol bulursa kazancı 170.000 $ ve hiç petrol bulamazsa kaybı 80.000 $ olacaktır. Bu üç durumun olasılıkları sırasıyla şöyledir: 0.5; 0.25; 0.25.
Şirketin beklenen kazancı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 52.500 $
B) 62.500 $
C) 92.500 $
D) 82.500 $
E) 72.500 $

Cevap : E) 72.500 $

Açıklama : Beklenen Değer (Expected Value), her bir olası sonucun değeri ile o sonucun gerçekleşme olasılığının çarpımlarının toplamıdır.
Formül: E[X] = (x₁ . p₁) + (x₂ . p₂) + (x₃ . p₃)
Verilenler:
1. Durum (Az Petrol): Kazanç 100.000 $, Olasılık 0.50
2. Durum (Çok Petrol): Kazanç 170.000 $, Olasılık 0.25
3. Durum (Yok): Kayıp 80.000 $ (Yani -80.000 $), Olasılık 0.25
Hesaplama:
E[X] = (100.000 * 0.50) + (170.000 * 0.25) + (-80.000 * 0.25)
E[X] = 50.000 + 42.500 – 20.000
E[X] = 92.500 – 20.000 = 72.500 $
Sonuç olarak şirketin beklenen ortalama kazancı 72.500 dolardır.

2. Aşağıdaki grafiklerden hangisini sınıflanmış serinin grafik gösteriminde kullanmak daha uygun olur?

A) Histogram
B) Nokta diyagramı
C) Box-Whisker grafiği
D) Daire grafiği
E) Çizgi diyagramı

Cevap : A) Histogram

Açıklama : İstatistiksel serilerde veri tipine göre grafik seçimi önemlidir. “Sınıflanmış Seriler” (Gruplandırılmış Frekans Dağılımları), sürekli verilerin belirli aralıklarla (sınıflarla) özetlendiği tablolardır. Bu tür verilerin görselleştirilmesinde en yaygın ve en uygun araç **Histogram**dır. Histogramda bitişik sütunlar, sınıfların frekans yoğunluğunu ve dağılımın şeklini (simetrik, çarpık vb.) net bir şekilde gösterir. Çizgi diyagramı zaman serileri için, daire grafiği kategorik (nitel) verilerin oransal dağılımı için, nokta diyagramı ise az sayıdaki ham veriler için daha uygundur.

3. Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6’sının defolu olduğu bilinmektedir.
Rastgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen, 1 tanesinin defolu olmasının olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0,288
B) 0,234
C) 0,226
D) 0,062
E) 0,158

Cevap : B) 0,234

Açıklama : Bu problem Binom Olasılık Dağılımı ile çözülür. Çünkü deneyin iki sonucu vardır (defolu/sağlam), denemeler bağımsızdır ve olasılık sabittir.
n (Deneme sayısı) = 5
p (Defolu olma olasılığı) = 0.06
q (Sağlam olma olasılığı) = 1 – 0.06 = 0.94
x (İstenen defolu sayısı) = 1
Formül: P(X=x) = C(n,x) * p^x * q^(n-x)
Hesaplama:
P(X=1) = C(5,1) * (0.06)^1 * (0.94)^4
P(X=1) = 5 * 0.06 * (0.7807)
P(X=1) = 0.30 * 0.7807 = 0.2342
En yakın seçenek B şıkkıdır.

4.

Yukarıdaki tabloda X rastlantısal değişkenine ait değerler yer almaktadır.
Buna göre X değişkeninin standart sapması (σ) nedir?
(Tablo Değerleri: X: 0, 1, 2, 3 ve P(X): 0.0156, 0.2813, 0.2813, 0.4219)

A) 0,9
B) 0,7
C) 0,8
D) 1,0
E) 0,6

Cevap : A) 0,9

Açıklama : Standart sapmayı bulmak için önce Beklenen Değeri (Ortalama), sonra Varyansı hesaplamalıyız.
1. Adım: Ortalama (E[X]) Hesabı:
E[X] = Σ(x * P(x)) = (0*0.0156) + (1*0.2813) + (2*0.2813) + (3*0.4219)
E[X] = 0 + 0.2813 + 0.5626 + 1.2657 = 2.1096
2. Adım: E[X²] Hesabı:
E[X²] = Σ(x² * P(x)) = (0*0.0156) + (1*0.2813) + (4*0.2813) + (9*0.4219)
E[X²] = 0 + 0.2813 + 1.1252 + 3.7971 = 5.2036
3. Adım: Varyans (Var[X]) Hesabı:
Var[X] = E[X²] – (E[X])² = 5.2036 – (2.1096)² = 5.2036 – 4.4504 = 0.7532
4. Adım: Standart Sapma (σ) Hesabı:
σ = √Var[X] = √0.7532 ≈ 0.867
Seçenekler arasında 0.867’ye en yakın değer 0.9 olduğu için cevap A’dır.

5. Hilesiz bir zarın 4 defa atıldığı varsayılıyor.
En az bir defa 6 gelme olasılığı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0,8177
B) 0,7177
C) 0,6177
D) 0,5177
E) 0,4177

Cevap : D) 0,5177

Açıklama : “En az bir defa” sorularında tümleyen (ters) olasılık yöntemini kullanmak en pratik yoldur.
Olayın tersi: “Hiç 6 gelmemesi”.
Bir zar atıldığında 6 gelmeme olasılığı 5/6’dır.
4 atışın hiçbirinde 6 gelmeme olasılığı: (5/6) * (5/6) * (5/6) * (5/6) = (5/6)^4
(5/6)^4 = 625 / 1296 ≈ 0.4822
İstenen Olasılık = 1 – (Hiç gelmeme olasılığı)
P(En az bir 6) = 1 – 0.4822 = 0.5178
Bu değere en yakın seçenek D şıkkıdır.

6. Normal dağılım gösteren bir tesadüfi değişkenin olasılık dağılımı aşağıdaki seçeneklerden hangisinde doğru tanımlanmaktadır?

A) Kesikli Dağılım
B) Polaroid Dağılım
C) Sistematik Dağılım
D) Sürekli Dağılım
E) Metrik Dağılım

Cevap : D) Sürekli Dağılım

Açıklama : Olasılık dağılımları, değişkenin türüne göre “Kesikli” (Discrete) ve “Sürekli” (Continuous) olarak ikiye ayrılır. Binom ve Poisson dağılımları, sayılabilir tam sayı değerleri aldıkları için (örneğin yazı sayısı, hatalı ürün sayısı) kesikli dağılımlardır. Ancak **Normal Dağılım (Gauss Dağılımı)**; boy, kilo, sıcaklık, zaman gibi ölçülebilir ve sonsuz hassasiyette değer alabilen değişkenleri modellediği için **Sürekli Olasılık Dağılımı** sınıfına girer. Eğrisi çan şeklindedir ve eğri altındaki alan 1’dir.

7. A takımının yaptığı her maçta kazanma olasılığı 0,6667 dir. Bu takımın oynadığı 4 maçtan 2 tanesini kazanma olasılığı nedir?

A) %29,63
B) %10,00
C) %10,55
D) %11,24
E) %14,80

Cevap : A) %29,63

Açıklama : Bu bir Binom dağılımı problemidir.
n = 4 (Maç sayısı)
p = 0.6667 ≈ 2/3 (Kazanma olasılığı)
q = 0.3333 ≈ 1/3 (Kaybetme olasılığı)
x = 2 (Kazanılması istenen maç sayısı)
Formül: P(X=2) = C(4,2) * (2/3)^2 * (1/3)^2
C(4,2) = 6’dır.
P(X=2) = 6 * (4/9) * (1/9)
P(X=2) = 6 * (4/81) = 24 / 81
24 / 81 ≈ 0.29629
Yüzde olarak ifade edersek yaklaşık %29.63’tür.

8. Homojen bir para 64 kez atılıyor. Bulunan turaların sayısının standart sapması değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 10
B) 4
C) 0,158
D) 6
E) 8

Cevap : B) 4

Açıklama : Para atma deneyi Binom Dağılımına uyar.
n = 64 (Atış sayısı)
p = 0.5 (Tura gelme olasılığı – Homojen para)
q = 0.5 (Yazı gelme olasılığı)
Binom dağılımında Varyans formülü: Var = n * p * q
Var = 64 * 0.5 * 0.5 = 16
Standart Sapma formülü: σ = √Varyans
σ = √16 = 4
Bu nedenle tura sayısının standart sapması 4’tür.

9. Bir öğrenci Türkçe dersinden 70, Müzik dersinden 80 almıştır. Bu derslere ilişkin sınıf ortalamaları ve standart sapmaları aşağıdaki gibidir.
Türkçe: Ortalama 70, Standart Sapma 5.
Müzik: Ortalama 60, Standart Sapma 20.

Bu bilgiler doğrultusunda aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Öğrenci Müzik dersinde tam sınıf ortalamasında bir başarı göstermiştir.
B) Öğrenci Türkçe dersinde sınıf ortalamasının üzerinde bir başarı göstermiştir.
C) Öğrenci Türkçe dersinde tam sınıf ortalamasında bir başarı göstermiştir.
D) Öğrenci Müzik dersinde sınıf ortalamasının 2 standart sapma altında kalmıştır.
E) Öğrenci Türkçe dersinde sınıf ortalamasının 1 standart sapma altında kalmıştır.

Cevap : C) Öğrenci Türkçe dersinde tam sınıf ortalamasında bir başarı göstermiştir.

Açıklama : Öğrencinin başarısını kıyaslamak için Z puanlarına (Standart Puan) bakmalıyız. Z = (Not – Ortalama) / Standart Sapma.
Türkçe dersi için: Z = (70 – 70) / 5 = 0 / 5 = 0.
Müzik dersi için: Z = (80 – 60) / 20 = 20 / 20 = +1.
Z puanının 0 olması, öğrencinin tam olarak sınıf ortalamasında (aritmetik ortalamaya eşit) bir not aldığını gösterir. Bu nedenle C şıkkı kesinlikle doğrudur. Müzik dersinde ise ortalamanın 1 standart sapma üzerindedir.

10. Hilesiz bir para 6 kez atıldığında en az 4 kez yazı gelme ihtimali aşağıdakilerden hangisidir?

A) 15/32
B) 9/32
C) 7/32
D) 11/32
E) 13/32

Cevap : D) 11/32

Açıklama : “En az 4 kez yazı” gelmesi demek; 4 Yazı, 5 Yazı veya 6 Yazı gelmesi demektir.
n = 6. Toplam durum sayısı 2^6 = 64’tür.
Durum 1 (4 Yazı): C(6,4) = 15 farklı durum.
Durum 2 (5 Yazı): C(6,5) = 6 farklı durum.
Durum 3 (6 Yazı): C(6,6) = 1 farklı durum.
Toplam İstenen Durum = 15 + 6 + 1 = 22.
Olasılık = İstenen Durum / Toplam Durum = 22 / 64
Sadeleştirirsek (her iki tarafı 2’ye böl): 11 / 32 bulunur.

11. Bir hipotez testinde bulunan hata tip türü sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5

Cevap : C) 2

Açıklama : İstatistiksel hipotez testlerinde karar verirken yapılabilecek iki temel hata türü vardır:
1. **Tip I Hata (α hatası):** Gerçekte doğru olan bir H0 (Yokluk) hipotezinin yanlışlıkla reddedilmesidir (Doğruyu reddetmek).
2. **Tip II Hata (β hatası):** Gerçekte yanlış olan bir H0 hipotezinin kabul edilmesidir (Yanlışı kabul etmek).
Bu nedenle toplam hata tipi sayısı 2’dir.

12. Bir ayakkabı fabrikasında üretilen ürünlerde hatalı ürün oranı %1 olarak tespit edilmiştir. Tesadüfen seçilen 200 ayakkabılık bir örneklem içinde 3 tanesinin hatalı olma olasılığı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0,1270
B) 0,4025
C) 0,1805
D) 0,4775
E) 0,2275

Cevap : C) 0,1805

Açıklama : n sayısının büyük (200), p olasılığının küçük (0.01) olduğu durumlarda Binom dağılımı yerine Poisson Dağılımı yaklaşımı kullanılır.
Lambda (λ) = n * p = 200 * 0.01 = 2.
İstenen durum (x) = 3.
Poisson Formülü: P(x) = (e^(-λ) * λ^x) / x!
P(3) = (e^(-2) * 2^3) / 3!
e^(-2) ≈ 0.1353
P(3) = (0.1353 * 8) / 6
P(3) = 1.0824 / 6 ≈ 0.1804
Bu değere en yakın seçenek C şıkkıdır (0.1805).

13. Türkiye’de TV dizilerinin %20’si beğenilmekte ve bunların %50 si ise yurt dışına satılmaktadır. Beğenilmeyenlerin ise %70’si yurtdışına satılmaktadır. Bir dizinin yurt dışına satılması durumunda ülkemizde de beğenilen dizi olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0,1515
B) 0,5515
C) 0,4020
D) 0,1850
E) 0,1130

Cevap : A) 0,1515

Açıklama : Bu bir Bayes Teoremi sorusudur.
Olaylar: B (Beğenilme) = 0.20, B’ (Beğenilmeme) = 0.80.
S (Satılma): P(S|B) = 0.50 ve P(S|B’) = 0.70.
Bizden istenen: Dizi satılmışsa beğenilme olasılığı P(B|S).
Önce Toplam Satılma Olasılığını P(S) bulalım:
P(S) = P(B)*P(S|B) + P(B’)*P(S|B’)
P(S) = (0.20 * 0.50) + (0.80 * 0.70) = 0.10 + 0.56 = 0.66.
Şimdi Bayes formülünü uygulayalım:
P(B|S) = [ P(B) * P(S|B) ] / P(S)
P(B|S) = (0.20 * 0.50) / 0.66 = 0.10 / 0.66
0.10 / 0.66 = 10/66 = 5/33 ≈ 0.1515.

14. Aşağıdakilerden hangisi istatistiksel analiz sonuçlarını etkilemeyeceği düşünülen ve örneklem hacmi büyüdükçe birbirini tolere eden hata türüne bir örnektir?

A) Daktilonun b yerine v harfi basması
B) Tartının sürekli olarak 10 gr. fazla tartması
C) Metrenin 1 cm eksik ölçmesi
D) Termometrenin normalden 1.5 derece yüksek göstermesi
E) Anketörün cinsiyetlerden bazılarını yanlış kodlaması

Cevap : E) Anketörün cinsiyetlerden bazılarını yanlış kodlaması

Açıklama : İstatistiksel hatalar ikiye ayrılır: 1. Sistematik Hatalar (B, C, D seçenekleri gibi her ölçümde aynı yönde sapma yapan ve ortalamayı bozan hatalar). 2. Tesadüfi (Rastgele) Hatalar. Tesadüfi hatalar, dikkatsizlik veya şans eseri oluşan, yönü belirsiz hatalardır. Örneklem sayısı arttıkça bu hataların bir kısmı pozitif bir kısmı negatif yönde olacağı için birbirini götürür (tolere eder) ve ortalamayı etkilemez (sıfıra yaklaşır). Anketörün sehven bazı cinsiyetleri yanlış kodlaması (kasıtlı ve sistematik değilse) tesadüfi bir insan hatasıdır ve büyük veride etkisi azalır.

15. Bir işletmede çalışan kadın ve erkeklerin diyet yapma oranlarını değerlendirmek için 40 kadın ve 60 erkekle görüşülüyor. Görüşme sonucunda 30 kadın ve 18 erkeğin diyet yaptığı bilgisine ulaşılıyor. Yapılan analiz ile kadınların diyet yapma oranının erkeklerin diyet yapma oranından yüksek olduğu bulunuyor. Bu sonuç için gerekli Z test istatistik değeri (Z hesap değeri) nedir?  (%5 önem düzeyinde Ztab= 1.65 dir)

A) 5,371
B) 4,164
C) 3,185
D) 6,738
E) 3,500

Cevap : D) 6,738

Açıklama :

16. Serinin en büyük ve en küçük değerleri arasındaki fark aşağıdaki seçeneklerden hangisinde en doğru şekilde ifade edilmiştir?

A) Değişim Katsayısı
B) Standart Hata
C) Değişim Aralığı
D) Varyans
E) Standar Sapma

Cevap : C) Değişim Aralığı

Açıklama : Bir veri setindeki (serideki) en büyük gözlem değeri (Maksimum) ile en küçük gözlem değeri (Minimum) arasındaki farka **Değişim Aralığı** (Range / Açıklık) denir. Dağılımın yaygınlığı hakkında en basit ve kaba bilgiyi veren dağılım ölçüsüdür. Örneğin en yüksek not 100, en düşük not 20 ise Değişim Aralığı 80’dir.

17. Bir serinin dağılımını (bölünmesini / şeklini) anlamak için aşağıdaki seçeneklerden hangisinden yararlanmak gerekmez?

A) Basıklıktan
B) Çarpıklıktan
C) Momentlerden
D) Ortalamalardan
E) Tanımından

Cevap : E) Tanımından

Açıklama : Bir serinin dağılım şeklini (normal mi, sağa mı çarpık, sivri mi basık mı vb.) analiz etmek için istatistiksel ölçüler kullanılır.
– Çarpıklık (Skewness): Simetriyi bozan eğikliği gösterir.
– Basıklık (Kurtosis): Dağılımın sivriliğini veya yayvanlığını gösterir.
– Momentler: Çarpıklık ve basıklık hesaplamasında kullanılan temel matematiksel araçlardır.
– Ortalamalar (Aritmetik Ortalama, Medyan, Mod): Bunların birbirine göre konumu dağılımın şekli (simetrisi) hakkında bilgi verir.
Ancak “Tanımından” ifadesi, sayısal bir analiz aracı değildir ve dağılımın şeklini belirlemek için kullanılan teknik bir yöntem değildir.

18. Bir paranın 4 kez atıldığı varsayılıyor. 1’den fazla tura gelme olasılığı nedir?

A) 12/16
B) 9/16
C) 10/16
D) 8/16
E) 11/16

Cevap : E) 11/16

Açıklama : “1’den fazla tura” demek; 2, 3 veya 4 tura gelmesi demektir.
Tersinden gitmek (Tümleyen) daha kolaydır: İstenmeyen durumlar “0 Tura” veya “1 Tura” gelmesidir.
Toplam Durum = 2^4 = 16.
0 Tura (YYYY) = 1 durum.
1 Tura (TYYY, YTYY, YYTY, YYYT) = 4 durum.
İstenmeyen Toplam = 1 + 4 = 5 durum.
İstenen Durumlar = Toplam – İstenmeyen = 16 – 5 = 11.
Olasılık = 11 / 16.

19. f(x)=1/36 (x+3) ve 0 < x < 6 aralığında tanımlı olasılık yoğunluk fonksiyonuna ait varyans değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) Var(X) = 3,75
B) Var(X) = 2,75
C) Var(X) = 2,25
D) Var(X) = 1,75
E) Var(X) = 3,25

Cevap : B) Var(X) = 2,75

Açıklama : Varyans formülü: Var(X) = E[X²] – (E[X])².
Bu integral işlemi gerektiren bir sorudur.
1. E[X] (Beklenen Değer): ∫ x * f(x) dx = ∫ x * (x+3)/36 dx (0’dan 6’ya).
Hesaplandığında E[X] = 3.5 bulunur.
2. E[X²]: ∫ x² * f(x) dx = ∫ x² * (x+3)/36 dx (0’dan 6’ya).
Hesaplandığında E[X²] = 15 bulunur.
3. Varyans: 15 – (3.5)² = 15 – 12.25 = 2.75.
Fonksiyonun varyans değeri 2.75’tir.

20. 6, 7, 8, 9, 12, 24, 5, 7 serisinin aritmetik ortalamadan sapma değerleri toplamı kaçtır?

A) 12
B) 0
C) 9
D) 4
E) 7

Cevap : B) 0

Açıklama : Bu, aritmetik ortalamanın en temel matematiksel özelliklerinden biridir. Hangi sayı dizisi olursa olsun, her bir verinin ortalamadan farkını (sapmasını) alıp toplarsanız, sonuç **daima sıfırdır**. Çünkü ortalama, verilerin ağırlık merkezidir ve negatif sapmalar pozitif sapmaları tam olarak dengeler. Hesaplamaya gerek yoktur, kural gereği cevap 0’dır.