İşletme Matematiği 2024-2025 Final Soruları

1. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matematiksel Fonksiyonlar

İşletme matematiğinin temeli, değişkenler arasındaki ilişkileri kuran fonksiyonlara ve denklem sistemlerine dayanır. Örneğin, çok değişkenli bir fonksiyon olan z = \ln(x^2+y^2-16) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için, logaritmanın içinin daima sıfırdan büyük olması gerekir. Bu nedenle tanım kümesi x^2+y^2 > 16 eşitsizliği ile ifade edilir. İşletmelerde maliyet ve gelir gibi çoklu değişkenlerin hesaplanmasında ise doğrusal denklem sistemleri kullanılır. Alışveriş problemlerinde (örneğin ıspanak ve kereviz fiyatlarının hesaplanması) kurulan iki bilinmeyenli denklemler yok etme veya yerine koyma metotlarıyla kolayca çözümlenerek birim fiyatlar (örneğin kerevizin 30 TL olması) bulunur.

Parçalı fonksiyonlar ise, işletmenin farklı üretim kapasitelerinde veya vergi dilimlerinde karşılaştığı farklı maliyet/fiyatlama eğilimlerini modeller. Verilen belirli bir x değeri, fonksiyonun hangi tanım aralığına düşüyorsa o aralığın kuralı işletilir.

2. Matris Cebiri ve Leontief Girdi-Çıktı Modeli

Ekonomik sistemlerdeki sektörler arası etkileşimi ölçmenin en etkili yolu Wassily Leontief tarafından geliştirilen Girdi-Çıktı (Input-Output) analizidir. Bu modelde, bir sektörün (örneğin A sektörü) toplam talebi, o sektörün diğer sektörlere sağladığı ara talepler ile nihai (bağımsız) talebin toplamından oluşur.

Modelde kullanılan teknik katsayılar (a_{ij}), j sektöründe 1 birimlik çıktı üretebilmek için i sektöründen ne kadar girdi alınması gerektiğini gösterir. Formülü ise şöyledir:

a_{ij} = \frac{x_{ij}}{X_j}

Örneğin, A sektöründe 70 birimlik toplam üretim için kendi içinden 28 birim girdi kullanılıyorsa, teknik katsayı a_{11} = 0.4 olarak hesaplanır. İkinci sektörde 300 TL’lik çıktı için üçüncü sektörden 600 TL girdi alınıyorsa a_{23} = 2 olur. Matris cebirinde matrislerin tersini almak (A^{-1}) veya ters simetrik matrisleri (köşegenleri sıfır olan ve A^T = -A kuralını sağlayan matrisler) kullanmak bu analizlerin matematiksel altyapısını oluşturur.

3. Doğrusal Programlama (DP) ve Simpleks Yöntemi

İşletmelerde kısıtlı kaynakları (işgücü, hammadde, zaman) en verimli şekilde kullanarak kârı maksimize etme veya maliyeti minimize etme sürecine Doğrusal Programlama denir. Bir DP modelinde değerleri aranan bilinmeyenlere karar değişkenleri denir. Modelin doğası gereği üretim miktarı eksi değer alamayacağı için, kurulan eşitsizliklerde daima bir negatif olmama koşulu (X, Y \ge 0) bulunur.

İki değişkenli DP problemleri grafik yöntemiyle çözülebilir. Kısıtların kesiştiği köşe noktaları amaç fonksiyonunda yerine konur ve en yüksek/düşük değeri veren nokta optimal çözüm olarak kabul edilir. İkiden fazla değişken olduğunda ise Simpleks Yöntemi devreye girer. Değişken sayısının (n) denklem sayısından (m) fazla olduğu durumlarda olası temel çözüm sayısı kombinasyon formülü ile bulunur. Simpleks minimizasyon problemlerinde, Z_j – C_j indeks satırındaki tüm değerlerin sıfır veya sıfırdan küçük olması (negatif olması), en uygun (optimal) çözüme ulaşıldığını gösterir.

4. Duyarlılık Analizi, Gölge Fiyat ve Dualite Teorisi

Optimal çözüme ulaştıktan sonra sistemde meydana gelebilecek değişimlerin sonuçlarını incelemek için Duyarlılık Analizi yapılır. Bu analizin en önemli kavramı Gölge Fiyat’tır (Dual Price). Gölge fiyat, bir kısıtın kapasitesinin 1 birim artırılması durumunda amaç fonksiyonunda (örneğin toplam kârda) meydana gelecek artışı ifade eder. Kısıt 1 birim arttığında kâr 4 birim artıyorsa, o kaynağın gölge fiyatı 4’tür.

Matematiksel olarak kurulan her primal (birincil) modelin bir de Dual (ikincil) modeli vardır. Primal model bir minimizasyon (Min) problemi ise, duali mutlaka bir maksimizasyon (Max) problemi olur. Primal modeldeki kısıtların sağ taraf sabitleri (örneğin 12 ve 15), dual modelin amaç fonksiyonunun katsayıları haline gelir. Ayrıca, DP çözümlerinde temele (çözüme) girmeyen, yani değeri 0 olan temel dışı değişkenlerin, amaç fonksiyonuna dahil edilmeleri durumunda yaratacakları birim maliyet kaybına İndirgenmiş Maliyet (Reduced Cost) adı verilir.

1. z = ln (x²+y²-16) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x²+y²≤16
B) x²+y²>16
C) x²+y²≤16
D) x²+y²<16
E) x²+y²=16

Cevap: B) x²+y²>16

Açıklama:

2. x+y=5
-x+2y=-2
doğrusal denklem sisteminin çözümü hangi şıkta doğru olarak verilmiştir?

A) (x=4;y=5)
B) (x=-1;y=2)
C) (x=1;y=2)
D) (x=4;y=1)
E) (x=-1;y=4)

Cevap: D) (x=4;y=1)

Açıklama: İki denklemi taraf tarafa toplarsak:
(x + y) + (-x + 2y) = 5 + (-2)
3y = 3
y = 1
Bulduğumuz y değerini ilk denklemde yerine yazarsak:
x + 1 = 5
x = 4
Çözüm: (x=4; y=1) olur.

3. 4 değişkenli 2 denklemin simpleks yöntemle çözümü hakkında hangisi doğrudur?

A) Tek çözümü vardır.
B) Sonsuz çözümü vardır.
C) 6 farklı çözümü vardır.
D) Çözümü yoktur.
E) 8 farklı çözümü vardır.

Cevap: C) 6 farklı çözümü vardır.

Açıklama:

4.

A ve B gibi iki sektöre sahip bir sistemde girdi tutarları yukarıdaki gibi ise; A sektörüne olan toplam talep ne kadardır?

A) 35
B) 20
C) 25
D) 40
E) 30

Cevap: A) 35

Açıklama: Leontief girdi-çıktı modelinde bir sektöre (A) olan toplam talep, o sektörün diğer sektörlere (A ve B) sağladığı ara talepler ile bağımsız (nihai) talebin toplamına eşittir.
A’nın Toplam Talebi = (A’dan A’ya ara talep) + (A’dan B’ye ara talep) + (A’nın Bağımsız Talebi)
A’nın Toplam Talebi = 14 + 5 + 16 = 35

5.
Yukarıda verilen matematiksel modelde kaç adet karar değişkeni bulunmaktadır?

A) 2
B) 4
C) 0
D) 3
E) 1

Cevap: D) 3

Açıklama: Karar değişkenleri, matematiksel modelde değerleri belirlenecek olan bilinmeyenlerdir. Amaç fonksiyonu ve kısıtlara bakıldığında modelin x_1, x_2 ve x_3 olmak üzere 3 adet karar değişkeninden oluştuğu görülmektedir.

6. Aşağıdakilerden hangisi ters simetrik bir matristir?

A)
B)
C)
D)
E)

Cevap: D)

Açıklama:

7.

Yukarıdaki soruyu çözümleyiniz.

A) 1
B) 25
C) 9
D) 6
E) 5

Cevap: D) 6

Açıklama:

8.

Yukarıdaki soruyu çözümleyiniz.

A) -2
B) 0
C) 10
D) 22
E) -12

Cevap: A) -2

Açıklama:

9.
Yukarıda verilen doğrusal programlama probleminin optimal çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

A) x = 2 ve y = 4
B) x = 0 ve y = 0
C) x = 0 ve y = 5
D) x = 0 ve y = 6
E) x = 10 ve y = 0

Cevap: A) x = 2 ve y = 4

Açıklama: Çözüm alanını belirlemek için kısıtların kesişim noktası bulunur.
2x+4y=20 (veya x+2y=10)
x+y=6
İkinci denklemi eksiyle çarpıp toplarsak: (x+2y) – (x+y) = 10 – 6 \Rightarrow y=4.
y=4’ü ikinci denklemde yerine yazarsak: x+4=6 \Rightarrow x=2. (Kesişim noktası: (2, 4))
Köşe noktalarındaki Z değerleri (0,0), (6,0), (0,5), (2,4) için hesaplanır:
Z(0,0) = 0
Z(6,0) = 4(6) + 5(0) = 24
Z(0,5) = 4(0) + 5(5) = 25
Z(2,4) = 4(2) + 5(4) = 8 + 20 = 28
Maksimum değeri veren nokta (2, 4) olduğundan optimal çözüm x=2 ve y=4’tür.

10. Bir manavdan alınan 2 kilo ıspanak ve 3 kilo kerevize bir müşteri 110 TL vermiştir. Başka bir müşteri aynı manavdan 5 kilo ıspanak ve 2 kilo kereviz alarak 110 TL ödemiştir. Bu manavda bir kilo kereviz kaç liraya satılmaktadır?

A) 20
B) 36
C) 15
D) 18
E) 30

Cevap: E) 30

Açıklama: ıspanak fiyatı x, kereviz fiyatı y olsun. Denklem sistemini kuralım:
1) 2x + 3y = 110
2) 5x + 2y = 110
x’leri yok etmek için 1. denklemi 5 ile, 2. denklemi -2 ile çarpıp toplayalım:
10x + 15y = 550
-10x – 4y = -220
11y = 330
y = 30 TL. Bir kilo kerevizin fiyatı 30 liradır.

11.
Yukarıda verilen doğrusal programlama matematiksel modelinde 4 nolu ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) Aylak değişkenler
B) Amaç fonksiyonu
C) Negatif olmama koşulu
D) Optimal çözüm
E) Modelin kaynak kısıtları

Cevap: C) Negatif olmama koşulu

Açıklama: Doğrusal programlama modellerinde X, Y \ge 0 şeklindeki kısıtlar, karar değişkenlerinin (üretim miktarı vb.) negatif değer alamayacağını belirtir. Bu koşula negatif olmama koşulu denir.

12. Aşağıdaki şıklardan hangisinde optimal çözümünde bir kısıta ilişkin gölge fiyatın 4 çıkmasının ardından o kısıtın 1 birim arttırılması durumunda karın ne kadar artacağı doğru olarak verilmiştir?

A) 1
B) 4
C) 0
D) 3
E) 5

Cevap: B) 4

Açıklama: Gölge fiyat (dual fiyat), kısıt kapasitesinin (sağ taraf sabitinin) 1 birim artırılmasının amaç fonksiyonunun değerinde (kâr) yaratacağı değişimi ifade eder. Dolayısıyla gölge fiyat 4 ise, kısıt kapasitesi 1 birim arttığında kâr da 4 birim artacaktır.

13. Doğrusal programlama minimizasyon probleminin simpleks yöntemle çözümünde optimal çözüme ulaşıldığına nasıl karar verilir?

A) Zj-Cj indeks satırındaki değerler sonsuz olunca
B) Zj-Cj indeks satırındaki değerler sıfır ve sıfırdan küçük olunca
C) Zj-Cj indeks satırındaki değerler sıfır ve sıfırdan büyük olunca
D) Zj-Cj indeks satırındaki değerler birbirine eşit olunca
E) Zj-Cj indeks satırındaki değerler sıfıra eşit olunca

Cevap: B) Zj-Cj indeks satırındaki değerler sıfır ve sıfırdan küçük olunca

Açıklama: Minimizasyon problemlerinde simpleks yönteminin optimalite kriteri (durma kuralı), indeks satırı olan Zj-Cj satırındaki tüm değerlerin sıfıra eşit veya sıfırdan küçük (negatif) olmasıdır. Bu durum maliyeti düşürecek başka bir değişken kalmadığını gösterir.

14. Simpleks yöntemde 5 değişkenli 5 denklem verilmişse kaç tane temel çözüm bulunabilir?

A) 10
B) 25
C) 0
D) 5
E) 1

Cevap: E) 1

Açıklama:

15.

Yukarıda A ve B gibi iki sektörlü bir kapalı ekonomik sistemin toplam talepleri ayrıntılı olarak verilmektedir. Buna göre A sektöründe 1 birim çıktı elde edebilmek için aynı sektörden ne kadar girdi kullanılmaktadır?

A) 0.4
B) 0,5
C) 0,6
D) 1
E) 0,2

Cevap: A) 0.4

Açıklama:

16. İkinci Sektörde 300 TL tutarında çıktı üretebilmek için üçüncü sektörden kullanılan girdi miktarı 600 TL ise 𝑎23 değeri nedir?

A) 1.5
B) 3
C) 1.8
D) 1
E) 2

Cevap: E) 2

Açıklama:

17. Aşağıda verilen primal minimizasyon probleminin duali alındığında amaç fonksiyonu hangi şıkta doğru biçimde verilmektedir?
𝐺𝑚𝑖𝑛 = 2𝑋1 + 5𝑋2
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 12
8𝑋1 + 2𝑋2 ≤ 15𝑋1, 𝑋2 ≥ 0

A) 𝐺𝑚𝑎𝑥 = 2𝑋₁ + 8𝑋₂
B) 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 12𝑌₁ + 15𝑌₂
C) 𝐺𝑚𝑖𝑛 = 4𝑋₁ + 10𝑋₂
D) 𝑍𝑚𝑖𝑛 = 4𝑌₁+ 10𝑌₂
E) 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 12𝑋₁ + 10𝑋₂

Cevap: B) 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 12𝑌₁ + 15𝑌₂

Açıklama: Primal problem bir minimizasyon (Min) modeli ise, duali mutlaka bir maksimizasyon (Max) modeli olur. Dualin amaç fonksiyonunun katsayıları, primal kısıtların sağ taraf sabitleri olan 12 ve 15 sayılarıdır. Dolayısıyla yeni değişkenler Y₁, Y₂ olmak üzere amaç fonksiyonu Zmax = 12Y₁ + 15Y₂ şeklinde oluşturulur.

18. parçalı fonksiyonu göz önüne alındığında f(-1)+f(0)+f(3) değeri kaça eşittir?

A) 4
B) 2
C) -6
D) 0
E) -8

Cevap: C) -6

Açıklama: Verilen noktalardaki fonksiyon değerlerini ait oldukları aralıktaki denklemleri kullanarak buluruz.
x = -1 için üst aralık geçerli: f(-1) = |2(-1)| = |-2| = 2.
x = 0 için orta aralık geçerli: f(0) = -(0^2) = 0.
x = 3 için alt aralık geçerli: f(3) = -(3) – 5 = -8.
Sonuçların toplamı: 2 + 0 + (-8) = -6.

19. Çözüm değerleri aşağıdaki gibi verilen bir DP modelinde indirgenmiş maliyete sahip karar değişkenleri hangileridir?
X₁=5, X₂=0, X₃=4, X₄=-1, X₅=0, X₆=-3

A ) X₁, X₃
B ) X₁, X₆
C ) X₁, X₂
D ) X₄, X₆
E ) X₂ , X₅

Cevap: E ) X₂ , X₅

Açıklama: Doğrusal programlama probleminde indirgenmiş maliyet (reduced cost), çözüm değerleri 0 olan temel dışı değişkenler için söz konusudur. Çözüme (temele) girmeyen bu değişkenlerin indirgenmiş maliyeti sıfırdan farklı bir değer alır. Verilen değerler arasında X₂=0 ve X₅=0 olduğu için bu değişkenler indirgenmiş maliyete sahiptir.

20. ise A-¹ matrisinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A)
B)
C)
D)
E)

Cevap: C)

Açıklama: