İstatistik Ünite -5

Analitik Ortalamalar – Aritmetik Ortalama ve Özlü Bir Söz

Bir gün altı öğün yemek yer, ertesi gün hiç yemezsek ortalamada üç öğün yemek yemiş oluruz; ama hiç de sağlıklı beslenmemiş oluruz.
– Albert Camus

Bu özlü söz, aritmetik ortalamanın, verilerin genel eğilimini yansıtmak için ne kadar kullanışlı olduğunu, ancak gerçek durumu tam olarak ifade edemeyebileceğini vurgular. Aritmetik ortalama, verilerin ne kadar dengeli olduğunu anlamak için kullanılır; ancak verilerin aşırılıklarını ya da dağılımını hesaba katmadığında yanıltıcı sonuçlar verebilir.

Kazanımlar

Bu yazıda, analitik ortalamaların özelliklerini ve özellikle aritmetik ortalamanın nasıl hesaplandığını öğrenerek şu kazanımları elde edeceğiz:

● Verilerin toplanıp düzenlendikten sonra özetlenmesinin neden gerekli olduğunu anlayacağız.
● Analitik ortalamalar ve analitik olmayan ortalamalar arasındaki farkları göreceğiz.
● Aritmetik ortalamanın kullanım alanlarını ve özelliklerini öğrenerek, ağırlıklı aritmetik ortalamanın neden ve nasıl hesaplandığını anlayacağız.

Birlikte Düşünelim

● Çok sayıda veriyi tek bir değerle ifade etmek için ne tür yollar kullanabiliriz?
● Aritmetik ortalama, hangi durumlarda kullanılmalı ve dikkat edilmesi gereken noktalar nelerdir?
● Analitik ve analitik olmayan ortalamalar nedir? Hangi ortalamalar bu gruplara girer?

Giriş: Verilerin Toplanması ve Düzenlenmesi

Verilerin toplanması ve düzenlenmesi istatistiksel analizlerin ilk adımıdır. Veriler düzenlenmeden, anlamlı bir sonuç elde etmek mümkün değildir. Örneğin, bir sınıfta yapılan sınav sonuçlarını analiz ederken, tek tek notlara bakmak yerine bir ortalama hesaplayarak genel başarıyı ölçmek daha uygun olabilir.

Bu yazıda, verileri özetlemek için kullanılan çeşitli ortalamaları inceleyeceğiz. Özellikle, aritmetik ortalama en çok kullanılan ve en bilinen ortalamadır. Ancak aritmetik ortalamanın her zaman durumu tam olarak yansıtmadığı durumlar da olabilir. Albert Camus’nün verdiği örnekte olduğu gibi, ortalama her zaman dengeli ve doğru bir tablo sunmayabilir.

Ortalamalar ve Özellikleri

Verileri özetlemek ve bir bütün olarak değerlendirmek için çeşitli ortalamalar kullanılır. Ortalamalar, verilerin genel eğilimini yansıtmak için kullanılan önemli istatistiksel araçlardır. İki ana ortalama türü vardır:

1- Analitik Ortalamalar: Verilerin tüm birimleri hesaba katılarak hesaplanan ortalamalardır. Aritmetik, geometrik ve kareli ortalamalar bu gruba girer.

2- Analitik Olmayan Ortalamalar: Verilerin tamamını hesaba katmayan ortalamalardır. Mod ve medyan, bu grupta yer alır.

Aritmetik Ortalama

Aritmetik ortalama, bir veri kümesindeki tüm verilerin toplanarak gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilir. Bu, merkezi eğilim ölçülerinden biridir ve günlük hayatta sıkça kullanılır. Not ortalamaları, gelir ortalamaları ve benzeri birçok alanda aritmetik ortalama kullanılır.

Aritmetik Ortalama Formülü: Aritmetik Ortalama = ∑Xᵢ /n

● Xᵢ​ her bir gözlem değerini temsil eder,
● n ise toplam gözlem sayısıdır.

Aritmetik ortalama, verilerin genel durumunu ifade ederken, aşırı değerlerin ortalamayı bozabileceğini unutmamak gerekir. Örneğin, bir sınıfta birkaç öğrencinin çok düşük ya da çok yüksek not alması, sınıfın genel ortalamasını etkileyebilir.

Ağırlıklı Aritmetik Ortalama

Bazı durumlarda, tüm verilerin aynı ağırlıkta olmadığı durumlarla karşılaşabiliriz. Örneğin, bir öğrencinin bazı dersleri daha yüksek kredili olabilir. Bu durumda, ağırlıklı aritmetik ortalama hesaplanır.

Ağırlıklı Ortalama Formülü: Ağırlık Ortalama = ∑(Xᵢ x wᵢ)/∑wᵢ

● Xᵢ​, gözlem değerlerini,
● wᵢ​, gözlemlerin ağırlıklarını temsil eder.

Aritmetik Ortalamanın Özellikleri

Aritmetik ortalama, analitik ortalamalar arasında en yaygın kullanılanıdır. Aritmetik ortalamanın başlıca özellikleri şunlardır:

● Kolay Hesaplama: Hesaplanması ve anlaşılması kolaydır.
● Cebirsel İşlemlere Uygunluk: Birçok istatistiksel analizde temel alınan bir ölçüdür.
● Duyarlılık: Aritmetik ortalama, aşırı değerlere karşı en hassas ortalamalardan biridir. Yani, veri kümesinde çok küçük ya da çok büyük bir değer varsa, bu durum ortalamayı etkileyebilir.

Aritmetik Ortalamanın Kullanım Alanları

Aritmetik ortalama, en çok kullanılan ortalama türüdür ve birçok farklı alanda karşımıza çıkar:

● Eğitim: Öğrenci başarılarını değerlendirmek için ortalama notlar kullanılır.
● Ekonomi: Ülkelerin ortalama gelir düzeyini belirlemek için aritmetik ortalama kullanılır.
● Sağlık: Hastaların tansiyon, kan şekeri gibi değerleri ortalama ile değerlendirilir.

Sonuç

Analitik ortalamalar, özellikle aritmetik ortalama, istatistiksel analizlerde büyük bir öneme sahiptir. Aritmetik ortalama, bir veri setinin genel eğilimini yansıtmak için ideal bir ölçümdür. Ancak aşırı değerlere karşı hassas olması ve her zaman durumu tam olarak yansıtmaması nedeniyle dikkatle kullanılmalıdır.

Her veri kümesi için en uygun ortalama türünü seçmek, doğru sonuçlar elde etmek için önemlidir. Bu yazıda, aritmetik ortalamanın yanı sıra diğer ortalama türlerine de değindik. Analitik olmayan ortalamalar gibi farklı yöntemlerin de belirli durumlarda daha uygun olabileceğini unutmamak gerekir

1 – Bir seriyi özetlemek, akılda kalıcı tek bir değer olarak ifade etmek amacıyla kullanılan istatistik ölçüler ……………….. olarak adlandırılır.

A) Mod
B) Medyan
C) Ortalama
D) Ortanca
E) Egemen değer

Cevap : C) Ortalama

Açıklama : Ortalama, bir veri setinin genel eğilimini gösteren ve tek bir değere indirgenen istatistiksel bir ölçüdür.

2 – Aşağıdaki ortalamalardan hangisi analitik ortalamalar arasında yer almaz?

A) Mod
B) Aritmetik ortalama
C) Geometrik ortalama
D) Kareli ortalama
E) Duyarlı ortalama

Cevap : A) Mod

Açıklama : Mod, analitik olmayan ortalamalar arasında yer alır. Mod, en çok tekrar eden değeri temsil eder.

3 – Seride bulunan aşırı değerlere karşı en duyarlı ortalama aşağıdakilerden hangisidir?

A) Mod
B) Medyan
C) Aritmetik ortalama
D) Geometrik ortalama
E) Hepsi

Cevap : C) Aritmetik ortalama

Açıklama : Aritmetik ortalama, aşırı değerlere en duyarlı olan ortalamadır. Aşırı büyük ya da küçük değerler ortalamayı ciddi şekilde etkileyebilir.

4 – Bir seride yer alan gözlem değerleri arasında önem farkı bulunması halinde …………. ortalama tercih edilir.

A) Ağırlıklı
B) Ağırlıksız
C) Mod
D) Medyan
E) Egemen değer

Cevap : A) Ağırlıklı

Açıklama : Ağırlıklı ortalama, her gözlem değerine farklı ağırlıklar verildiğinde hesaplanır ve önem farkları bu ortalamada dikkate alınır.

5 – Bir sürücü kursu katılımcısı girdiği ehliyet yazılı sınavında ilkyardım sınavından 85, motor bilgisi sınavından 80 ve trafik sınavından 90 almıştır. Buna göre, söz konusu katılımcının ortalama sınav notu nedir?

A) 80
B) 85
C) 90
D) 95
E) 98

Cevap : B) 85

Açıklama : Sınav notlarının aritmetik ortalaması (85+80+90) / 3 = 85’tir.

6 – TEOG sınavına hazırlanmakta olan bir ortaöğretim öğrencisi ardarda girdiği 3 deneme sınavından 90, 93, 98 almıştır. Buna göre öğrencinin ortalama başarı puanı nedir?

A) 93,67
B) 92
C) 91
D) 95
E) 95,5

Cevap : A) 93,67

Açıklama : Deneme sınavlarının aritmetik ortalaması (90+93+98) / 3 = 93,67’dir.

7 – Bir ilde haziran ayı gündüz sıcaklıkları bir hafta boyunca gözlenerek günlük ortalama sıcaklık seviyeleri tespit ediliyor. Bu değerler 22, 24, 25, 25, 25, 26, 26 şeklindedir. Buna göre söz konusu hafta için ortalama sıcaklık nedir?

A) 23
B) 24
C) 24,714
D) 25
E) 25,523

Cevap : C) 24,714

Açıklama : Ortalama sıcaklık (22+24+25+25+25+26+26) / 7 = 24,714’tür.

8 – Bir seride aşırı değer bulunması halinde ………….. tercih edilir.

A) Aritmetik ortalama
B) Tartılı aritmetik ortalama
C) Geometrik ortalama
D) Kareli ortalama
E) Duyarlı ortalama

Cevap : C) Geometrik ortalama

Açıklama : Aşırı değerlere karşı en dayanıklı ortalama geometrik ortalamadır. Aritmetik ortalama aşırı değerlere karşı duyarlıdır.

9 – Bir serinin toplam değerinin sıfır olması durumunda …………. tercih edilir.

A) Aritmetik ortalama
B) Kareli ortalama
C) Geometrik ortalama
D) Tartılı aritmetik ortalama
E) Duyarlı ortalama

Cevap : B) Kareli ortalama

Açıklama : Bir serinin toplam değeri sıfırsa kareli ortalama tercih edilir. Aritmetik ortalama sıfır toplamlı serilerde kullanılamaz.

10 – Aritmetik ortalamanın hesaplanabilmesi için verinin en az ……………. ölçüm düzeyinde toplanmış olması gerekir.

A) Nominal
B) Kategorik
C) Ordinal
D) Sıralı
E) Aralık

Cevap : E) Aralık

Açıklama : Aritmetik ortalama, verinin en az aralık düzeyinde ölçülmesi gereken durumlarda hesaplanabilir.