İstatistik Ünite -6

Analitik Ortalamalar – Geometrik ve Kareli Ortalamalar

Özlü Söz:
“İstatistik, doğru eğitimi almış kişilerce doğru olarak kullanıldığında muhteşem bir güce ve öğreticiliğe sahip bir araçtır.”
– Ç. Mert Bakırcı

Kazanımlar

Bu bölümde, analitik ortalamalar kapsamında yer alan geometrik ve kareli ortalamaları inceleyeceğiz. Özellikle şu kazanımlara ulaşacağız:

• Aşırı değerler içeren serilerde geometrik ortalamanın, aritmetik ortalamaya göre daha temsili bir ortalama olduğunu öğreneceğiz.
• Geometrik ortalamanın ne zaman tercih edilmesi gerektiğini ve nasıl hesaplandığını anlayacağız.
• Kareli ortalamaya neden ihtiyaç duyulduğunu ve nasıl hesaplandığını öğreneceğiz.
• Kareli ortalamanın özelliklerini ve neden önemli bir ortalama olduğunu kavrayacağız.

Birlikte Düşünelim

• Aşırı değer içeren serilerde aritmetik ortalama kullanmak doğru bir tercih midir?
• Amaç temsili bir ortalama hesaplamak olduğunda, aritmetik ortalama dışında kullanılabilecek başka analitik ortalamalar var mıdır?
• Seride negatif gözlem değerleri varsa ortalama hesaplamak mümkün müdür?
• Toplamı sıfır olan bir serinin ortalaması nasıl hesaplanır?
• Geometrik dizi özelliği gösteren serilerde hangi ortalama tercih edilmelidir?

Başlamadan Önce

Daha önceki bölümlerde, verilerin nasıl toplanıp düzenlendiğini ve bu verilerden elde edilen bilgilerin nasıl özetlenebileceğini öğrendik. Analitik ortalamalar içinde en yaygın kullanılan aritmetik ortalamayı inceledik. Bu bölümde ise geometrik ve kareli ortalamalar üzerinde durarak hangi durumlarda bu ortalamaların kullanılmasının uygun olduğunu öğreneceğiz.

6.1. Geometrik Ortalama

Geometrik ortalama, aritmetik ortalama gibi bir veri setindeki tüm gözlem değerlerini dikkate alarak hesaplanan bir analitik ortalamadır. Ancak, geometrik ortalama özellikle belli koşullarda kullanılır ve aritmetik ortalamanın seriyi iyi temsil edemediği durumlarda tercih edilir. Geometrik ortalama, özellikle geometrik dizi özelliği gösteren serilerde veya aşırı değerlere sahip veri kümelerinde daha güvenilir sonuçlar verir.

Geometrik Ortalama Ne Zaman Kullanılır?

Geometrik ortalama, artış oranı sabit olan serilerde ya da aşırı değer içeren veri kümelerinde, seriyi daha iyi temsil edebilen bir ortalama türüdür. Örneğin, bir sınıfta bir öğrencinin diğerlerinden çok yüksek not aldığı bir durumda, aritmetik ortalama bu yüksek değerin etkisiyle yükselir. Geometrik ortalama ise, bu tür aşırı değerlerin etkisini aritmetik ortalamaya göre daha az hisseder, dolayısıyla bu tür veri kümelerinde daha temsili bir sonuç elde etmek için kullanılır.

Geometrik Ortalama Nasıl Hesaplanır?

Geometrik ortalama, gözlem değerlerinin logaritmalarının alınarak hesaplandığı bir ortalamadır. Önce gözlem değerlerinin logaritmaları alınır, sonra bu logaritmaların aritmetik ortalaması hesaplanır ve elde edilen sonuç antilog işlemine tabi tutulur. Böylece, geometrik ortalama elde edilir.

• X𝑖 gözlem değerlerini,
• 𝐧 ise gözlem sayısını ifade eder.

Basit Seride Geometrik Ortalamanın Hesaplanması

Basit serilerde geometrik ortalama, gözlem değerlerinin logaritmalarının aritmetik ortalamasını alarak hesaplanır. Hesaplanan logaritma değerlerinin antilogu alınarak orijinal değere dönülür.

Örnek:

Beş arkadaşın açlık kan şekeri değerleri 85, 95, 100, 110 ve 278 olarak ölçülsün. Bu değerlerin geometrik ortalamasını hesaplamak için logaritmalarını alırız ve bu logaritmaların aritmetik ortalamasını buluruz. Ardından antilog alarak sonuç elde ederiz.

• Logaritmaların ortalaması: 2,04718
• Antilog ile sonuç: 111,48

Aynı veri kümesi için aritmetik ortalama ise 126,6 olarak bulunur. Bu fark, aşırı değer olan 278’in aritmetik ortalamayı yükselttiğini gösterir. Geometrik ortalama ise aşırı değerin etkisini daha az hisseder.

Tasnif Edilmiş ve Sınıflanmış Serilerde Geometrik Ortalama

Tasnif edilmiş serilerde, geometrik ortalama hesaplanırken gözlem değerlerinin frekansları dikkate alınır. Sınıflanmış serilerde ise sınıf orta noktaları kullanılarak geometrik ortalama hesaplanır. Her iki durumda da geometrik ortalama, aşırı değerlerin ortalamayı bozmasını önlemek için tercih edilir.

6.2. Kareli Ortalama

Kareli ortalama, gözlem değerlerinin karelerinin aritmetik ortalaması alınarak hesaplanan bir ortalamadır. Özellikle, seride negatif değerler olduğunda ya da toplamı sıfır olan bir veri kümesinde ortalama hesaplamak için kullanılır. Aritmetik ve geometrik ortalamaların kullanılmasının mümkün olmadığı durumlarda kareli ortalama kullanılır.

Kareli Ortalama Ne Zaman Kullanılır?

Kareli ortalama, toplamı sıfır olan ya da negatif değerler içeren serilerde kullanılır. Bu tür veri kümelerinde, aritmetik ortalama ya da geometrik ortalama uygun değildir, çünkü negatif ya da sıfır değerler bu ortalamaların hesaplanmasını engeller.

Kareli Ortalama Nasıl Hesaplanır?

Kareli ortalama, gözlem değerlerinin karelerinin aritmetik ortalaması alınarak hesaplanır ve elde edilen sonucun karekökü alınır.

• X𝑖, gözlem değerlerini,
• n, gözlem sayısını ifade eder.

Örnek:

Dört farklı şehirde bir gün içinde gözlenen sıcaklık değerleri: -2, 0, 3, 5. Bu sıcaklık değerlerinin kareli ortalamasını bulmak için önce her bir değerin karesi alınır, sonra bu karelerin ortalaması bulunur ve son aşamada karekök işlemi uygulanır.

Bu örnekte kareli ortalama, negatif ve sıfır değerler içeren serilerde nasıl kullanıldığını göstermektedir.

Sonuç

Geometrik ve kareli ortalamalar, analitik ortalamalar arasında özel durumlar için kullanılan ortalama türleridir. Geometrik ortalama, aşırı değerlere karşı duyarlı olmayan ve seriyi daha temsili bir şekilde özetleyebilen bir ortalamadır. Kareli ortalama ise, negatif ya da sıfır değerler içeren serilerde kullanılarak seriyi temsil etmeye çalışır.

Bu iki ortalama türü, aritmetik ortalamanın kullanılamadığı ya da uygun olmadığı durumlarda tercih edilir. Bu yüzden, veri analizlerinde doğru ortalamayı seçmek, sonuçların güvenilirliği açısından kritik öneme sahiptir

1. Aşağıdaki ortalamalardan hangisi analitik, duyarlı bir ortalamadır?

A) Mod

B) Medyan

C) Geometrik ortalama

D) Ortanca

E) Egemen değer

Cevap: C) Geometrik ortalama

Açıklama: Geometrik ortalama, duyarlı analitik bir ortalama türüdür. Tüm veri birimlerini hesaba katarken aşırı değerlere karşı daha dirençlidir.

2. Aşağıdaki ortalamalardan hangisi birimlerin logaritmaları üzerinden hesaplanır?

A) Geometrik ortalama

B) Kareli ortalama

C) Aritmetik ortalama

D) Medyan

E) Mod

Cevap: A) Geometrik ortalama

Açıklama: Geometrik ortalama, gözlem değerlerinin logaritmalarının aritmetik ortalaması ile hesaplanır ve aşırı değerlere karşı daha temsili bir ortalama sunar.

3. Aşağıdaki ortalamalardan hangisi birimlerin kareleri üzerinden hesaplanır?

A) Mod

B) Medyan

C) Kareli ortalama

D) Geometrik ortalama

E) Aritmetik ortalama

Cevap: C) Kareli ortalama

Açıklama: Kareli ortalama, gözlem değerlerinin karelerinin ortalamasının karekökü alınarak hesaplanır.

4. Toplamı sıfır olan ya da negatif (-) işaretli değer bulunduran serilerde ortalama hesaplanmak istendiğinde ………… kullanılır.

A) Kareli ortalama

B) Aritmetik ortalama

C) Geometrik ortalama

D) Toplamı sıfır olan seride ortalama hesaplanmaz.

E) Negatif değer bulunan seride ortalama hesaplanamaz.

Cevap: A) Kareli ortalama

Açıklama: Toplamı sıfır olan ya da negatif değerler içeren serilerde kareli ortalama kullanılır çünkü aritmetik ve geometrik ortalama bu tür serilerde uygun değildir.

5. Geometrik dizi özelliği gösteren ya da aşırı değer içeren serilerde hangi analitik ortalamanın kullanılması daha uygundur?

A) Kareli ortalama

B) Aritmetik ortalama

C) Geometrik ortalama

D) Mod

E) Medyan

Cevap: C) Geometrik ortalama

Açıklama: Geometrik ortalama, aşırı değerlere karşı daha dirençli olup geometrik dizi özelliği gösteren serilerde tercih edilir.

6. Aşağıdaki serinin geometrik ortalaması nedir?

Xi: 50, 100, 150, 200

A) 125

B) 120,25

C) 120

D) 115,55

E) 110,66

Cevap: E) 110,66

Açıklama: Bu dört gözlem değerinin geometrik ortalaması 110,66’dır. Geometrik ortalama, aşırı değerlere karşı daha temsili bir sonuç sağlar.

7. Gözlem değerleri 2, 5, 9 olan bir serinin kareli ortalaması nedir?

A) 36,67

B) 5,33

C) 7,22

D) 6,055

E) 4,48

Cevap: D) 6,055

Açıklama: Kareli ortalama, gözlem değerlerinin karelerinin ortalamasının karekökü alınarak hesaplanır.

8. Geometrik ortalama hesaplayabilmek için verinin en az ………….ölçüm düzeyinde ölçülmüş olması gerekir.

A) Nominal

B) Sınıflayıcı

C) Sıralayıcı

D) Aralık

E) Ordinal

Cevap: D) Aralık

Açıklama: Geometrik ortalama hesaplayabilmek için verinin en az aralık ölçüm düzeyinde olması gerekir.

9. Kareli ortalama hesaplayabilmek için verinin …………… veya …………. ölçekte ölçülmüş olması gerekir.

A) Sınıflayıcı-sıralayıcı

B) Aralık-oran

C) Nominal-ordinal

D) Kategorik-ordinal

E) Nominal-sıralayıcı

Cevap: B) Aralık-oran

Açıklama: Kareli ortalama için verinin aralık veya oran ölçeklerinde ölçülmüş olması gerekmektedir.

10. Bir ilde Mart ayı sıcaklıkları -2, 1, -1, 2 şeklinde ölçülmüştür. Bu serinin ortalaması hesaplanmak istendiğinde hangi duyarlı, analitik ortalamanın kullanılması uygun olacaktır?

A) Aritmetik ortalama

B) Ağırlıklı aritmetik ortalama

C) Geometrik ortalama

D) Medyan

E) Kareli ortalama

Cevap: E) Kareli ortalama

Açıklama: Negatif değerler içeren bu seride kareli ortalama daha uygun bir temsili değer sağlayacaktır.