İstatistik Ünite -7

Verilerin Özetlenmesi: Analitik Olmayan Ortalamalar

Özlü Söz

İstatistik, belirsizlikten belirliliğe doğru yol gösteren bir bilim dalıdır.

Kazanımlar

● Analitik olmayan ortalama kavramını öğrenmek
● Analitik olmayan ortalama ile temsili ortalama hesaplama ilişkisini anlamak
● Seride en çok tekrar eden değer olarak modu ve özelliklerini bilmek
● Sıralanmış bir seride tam ortada yer alan değer olarak medyanı ve özelliklerini bilmek
● Aritmetik ortalama, mod ve medyanın aldığı değerlerin serinin simetrik, pozitif ve negatif asimetrik olmasını nasıl belirlediğini bilmek

Birlikte Düşünelim

● Ortalama hesabında tüm birimleri kullanmak zorunlu mudur?
● Sadece ortalama hesaplanmak istendiğinde, kolay hesaplanabilecek ortalamalar var mıdır?
● Bir seride en çok tekrar eden değer ortalama olarak kabul edilebilir mi?
● Gözlem değerlerini sıralasak, tam ortadaki değer ortalama kabul edilebilir mi?
● Analitik çözüme dayanmayan ortalamalar temsili olabilir mi?

Giriş

Bu bölümde analitik olmayan ortalamaları inceleyeceğiz. Analitik olmayan ortalamalar, bir seride yer alan tüm gözlem değerleri üzerinden hesaplanmayan, başka bir deyişle hesaplamada tüm gözlem değerlerinin kullanılmadığı ortalamalardır. Bu tür ortalamalar, bütün gözlem değerlerinden hesaplanmadığı için ortalama hesabına dahil edilmeyen birimlere karşı duyarsızdır; bu nedenle, bu tür ortalamalara “duyarsız ortalamalar” da denir. Bu başlık altında mod ve medyanı öğrenip inceleyeceğiz.

7.1 Mod (Egemen Değer)

Mod, seride en çok tekrar eden değeri ifade eder. Bir seride en çok tekrar eden değer, varsa, o serinin modudur. Mod, “moda” terimi ile ilişkilendirilebilir; moda nasıl ki yaygınlık ve çokça görülme anlamına geliyorsa, mod da aynı anlamda çokça görülen bir ortalama olarak düşünülebilir.

Her serinin modu olmayabilir, bazı seriler birden fazla moda sahip olabilir. Örneğin, bir seride her gözlemden yalnızca birer tane varsa, en çok tekrar eden değer bulunmaz ve bu serinin modu olmadığı söylenir. Öte yandan, mod nominal, ordinal, aralık ve oran ölçüm düzeylerinde kullanılabilir ve yaygın bir kullanım alanı vardır.

7.1.1 Basit Seride Modun Belirlenmesi

Basit serilerde mod, en çok tekrar eden değerin bulunmasıyla belirlenir. Eğer seride hiçbir değer tekrar etmiyorsa, mod bulunmaz; birden fazla mod varsa, çok modlu bir seriden bahsedilir.

Örnek:
Üç öğrencinin bir dönemde aldığı 6 dersin başarı notları aşağıda verilmiştir. Buna göre öğrencilerin mod değerleri nedir?

Ahmet’in notlarında en çok tekrar eden değer 9’dur. Mehmet’in iki adet 6’sı ve iki adet 9’u olduğu için iki moda sahiptir. Umut’un notlarında hiçbir tekrar eden değer olmadığı için modu yoktur.

7.1.2 Tasnif Edilmiş Seride Modun Belirlenmesi

Tasnif edilmiş serilerde mod, frekans sütununda en yüksek değeri bulmakla tespit edilir. Frekansların eşit olduğu durumlarda çok modlu seriler olabilir.

Örnek:
Bir ayakkabı mağazasında satılan kadın ve erkek ayakkabı numaralarının frekans dağılımı aşağıda verilmiştir. Kadın ve erkek ayakkabılarının modlarını belirleyelim:

Kadın ayakkabılarında en çok satılan numara 38, erkeklerde ise 43 ve 44 numaralı ayakkabılardır. Bu nedenle kadın ayakkabısının modu 38, erkek ayakkabısının modu ise 43 ve 44’tür.

7.1.3 Sınıflanmış Seride Modun Belirlenmesi

Sınıflanmış serilerde mod, frekans sütununda en yüksek değeri bularak tespit edilir. Mod sınıfı içinde hangi değerin mod olduğunu belirlemek için belirli varsayımlar yapılır ve aşağıdaki formül kullanılır:

Bu formülde:

●  𝙻 : Mod sınıfının alt sınırı

●  𝒇₀​: Mod sınıfının frekansı

●  𝒇₁​: Mod sınıfından önceki sınıfın frekansı

● 𝒇₂: Mod sınıfından sonraki sınıfın frekansı

●  c: Sınıf genişliği

Örnek:
İstatistik dersini alan 120 öğrencinin notları aşağıdaki dağılım ile verilmiştir. Modu hesaplayalım:

Bu seride mod sınıfı 60-80 sınıfıdır. Yukarıdaki formül kullanılarak mod 67,06 olarak hesaplanır.

7.2 Medyan

Medyan, sıralanmış bir seride tam ortada yer alan değerdir. Sıralanabilir bir veri için kullanılabilir ve bir seriyi iki eşit parçaya böler. Medyan, aşırı küçük veya büyük değerlerden etkilenmez; bu sebeple özellikle bu tür serilerde temsili bir ortalama olarak kullanılır.

7.2.1 Basit Seride Medyan Hesabı

Medyan, küçükten büyüğe sıralanmış bir seride tam ortadaki değerdir. Gözlem sayısı tek sayı ise ortadaki değeri, çift sayı ise ortadaki iki değerin ortalamasını alarak bulunur.

Örnek:
Ahmet ve Mehmet’in notları sıralandıktan sonra Ahmet’in medyanı 9, Mehmet’in medyanı ise 7,5 olarak hesaplanmıştır.

7.2.2 Tasnif Edilmiş Seride Medyan Hesabı

Tasnif edilmiş serilerde medyan, frekanslara bakarak birikimli frekanslar oluşturulup ortadaki değerin hangi sınıfta yer aldığı belirlenir.

Örnek:
Bir ayakkabı mağazasında satılan ayakkabılar için medyan 38 numara olarak belirlenmiştir.

7.2.3 Sınıflanmış Seride Medyan Hesabı

Sınıflanmış serilerde medyan, medyan sınıfı tespit edilerek aşağıdaki formül ile hesaplanır:

Bu formülde:

● 𝐋: Medyan sınıfının alt sınırı
● 𝑭: Medyan sınıfından önceki sınıfların birikimli frekansı
● 𝒇: Medyan sınıfının frekansı
● c: Sınıf genişliği

Örnek:
İstatistik dersini alan 120 öğrencinin notları için medyan 59,29 olarak hesaplanmıştır.

7.3 Ortalamalar Arasındaki İlişkiler

Aritmetik, geometrik ve kareli ortalamalar birbirinden farklı sonuçlar verir. Genel olarak, büyüklük sıralaması şu şekildedir:

Geometrik Ortalama<Aritmetik Ortalama<Kareli Ortalama\text{Geometrik Ortalama} < \text{Aritmetik Ortalama} < \text{Kareli Ortalama}Geometrik Ortalama<Aritmetik Ortalama<Kareli OrtalamaBir seride aritmetik ortalama, mod ve medyanın değerlerine bakarak serinin simetrik, pozitif veya negatif asimetrik olup olmadığı anlaşılabilir.

● Simetrik Dağılım: Aritmetik ortalama, mod ve medyan eşittir.
● Pozitif Asimetrik Dağılım: Aritmetik ortalama moddan büyüktür.
● Negatif Asimetrik Dağılım: Aritmetik ortalama moddan küçüktür.

Bölüm Özeti

Bu bölümde analitik olmayan ortalamalar olarak mod ve medyan kavramlarını inceledik. Ortalamalar arasındaki ilişkilerden ve serinin simetri durumunu nasıl değerlendirebileceğimizden bahsettik. Veriyi özetlemenin yanı sıra, dağılım ölçülerini bilmek de önemlidir. Bir sonraki bölümde dağılım ölçülerini ele alacağız.

1- Aşağıdaki ortalamalardan hangisi analitik olmayan (duyarsız) bir ortalamadır?

A) Aritmetik ortalama
B) Geometrik ortalama
C) Medyan
D) Kareli ortalama
E) Duyarlı ortalama

Cevap : C) Medyan

Açıklama : Medyan, analitik olmayan bir ortalamadır çünkü serideki tüm gözlem değerlerini hesaba katmadan ortalama bulunur.

2- Seride yer alan gözlem değerleri arasında en çok tekrar eden gözlem değerine ———- denir.

A) Mod
B) Aritmetik ortalama
C) Geometrik ortalama
D) Kareli ortalama
E) Duyarlı ortalama

Cevap : A) Mod

Açıklama : Mod, seride en çok tekrar eden gözlem değeridir.

3- Sıralanmış bir seride tam ortada yer alan değere ———- denir.

A) Aritmetik ortalama
B) Geometrik ortalama
C) Medyan
D) Kareli ortalama
E) Duyarlı ortalama

Cevap : C) Medyan

Açıklama : Medyan, sıralanmış bir seride tam ortada yer alan değeri ifade eder.

4- Bir sınıfta bulunan 10 öğrencinin ağırlıkları 65, 70, 70, 60, 55, 60, 70, 60, 65, 60 olarak ölçülmüştür. Buna göre ağırlıkların mod değeri nedir?

A) 60
B) 65
C) 70
D) 55
E) Modu yoktur.

Cevap : A) 60

Açıklama : 60 değeri seride en çok tekrar eden değerdir, bu yüzden mod 60’tır.

5- Gözlem değerleri (2, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10) olan ve 12 gözlemden oluşan serinin medyanı nedir?

A) 8
B) 7
C) 7,5
D) 9
E) 8,5

Cevap : C) 7,5

Açıklama : Ortadaki iki değer (7 ve 8)’in aritmetik ortalaması medyanı verir: (7 + 8) / 2 = 7,5.

6-

Aşağıda verilen serinin modu nedir?

A) 10
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40

Cevap : A) 25

Açıklama : Mod en çok tekrar eden değerdir. Verilen seride en yüksek frekans 25’tir.

7- Simetrik bir seri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Aritmetik Ortalama > Medyan>Mod
B) Aritmetik Ortalama< Medyan
C) Aritmetik Ortalama=Medyan=Mod
D) Aritmetik Ortalama = Mod >Medyan
E) Aritmetik Ortalama>Mod=Medyan

Cevap : C) Aritmetik Ortalama=Medyan=Mod

Açıklama : Simetrik bir dağılımda, Aritmetik Ortalama, Medyan ve Mod aynı değeri alır.

8- Pozitif asimetri bir seri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Ortalama = Medyan=Mod
B) Mod>Medyan>Aritmetik Ortalama
C) Mod<Medyan
D) Ortalama = Mod >Medyan
E) Ortalama>Mod=Medyan

Cevap : C) Mod<Medyan

Açıklama : Pozitif asimetrik bir seride, aritmetik ortalama en büyüktür, mod ise en küçüktür.

9-

Aşağıda verilen sınıflanmış seride mod sınıfı hangi sınıftır?

A) 0-10 sınıfı
B) 10-20 sınıfı
C) 20-30 sınıfı
D) 30-40 sınıfı
E) 40-50 sınıfı

Cevap : B) 10-20 sınıfı

Açıklama : Mod sınıfı en yüksek frekansa sahip olan sınıftır. 10-20 sınıfı 9 frekansla en yüksek değere sahiptir.

10- Aşağıda verilen sınıflanmış seride medyan sınıfı hangi sınıftır?

Sınıflar:

0-10 (4),
10-20 (9),
20-30 (8),
30-40 (7),
40-50 (6)

A) 0-10 sınıfı
B) 10-20 sınıfı
C) 30-40 sınıfı
D) 40-50 sınıfı
E) 20-30 sınıfı

Cevap : E) 20-30 sınıfı

Açıklama : Medyan sınıfı, gözlem değerlerinin yarısının bulunduğu sınıftır. Bu sınıfta 20-30 sınıfı yer alır.