İstatistik Ünite -8

1. Dağılım ve Değişkenlik Nedir?

Bir veri serisindeki dağılım ve değişkenlik, gözlemlerin birbirinden ne kadar uzaklaştığını ifade eder. Ortalama, gözlemleri özetlemek için önemli bir ölçü olsa da gözlemler arasında ne kadar fark olduğuna dair bilgi vermez. Aynı ortalamaya sahip iki dağılımın farklı sonuçlar verebileceği daha önceki bölümlerde de anlatılmıştı. Örneğin, bir öğrencinin sınav notları 20 ile 100 arasında değişirken bir diğerinin notları 50 ile 70 arasında olabilir, ancak her ikisinin de ortalaması 60’dır. Bu noktada dağılım ölçüleri, bu öğrencilerin başarılarını daha doğru bir şekilde değerlendirmemize yardımcı olur.

2. Dağılım Ölçüleri Neden Gereklidir?

Sadece ortalamalarla bir veri setini özetlemek yetersiz kalabilir. Aynı ortalamaya sahip iki veri seti, farklı dağılım özellikleri gösterebilir. Dolayısıyla, veriler arasında nasıl bir değişkenlik olduğuna dair bilgi edinmek için dağılım ölçülerine ihtiyaç duyulur. Bu sayede, bir veri setinin homojenliği ya da heterojenliği hakkında daha net bir değerlendirme yapılabilir.

2.1. Dağılımın Homojenliği

Bir veri setinin dağılımı ne kadar azsa, o kadar homojendir. Örneğin, bir sınıftaki öğrencilerin boyları arasındaki fark azsa, bu sınıf homojen kabul edilir. Ancak boylar arasında büyük farklar varsa, bu sınıf heterojendir. Homojen bir dağılımda, ortalama daha temsili bir değer olur.

2.2. Dağılma Ölçülerine İhtiyaç

Verileri sadece ortalama ile özetlemek, eksik bir analizdir. Bir veri setinin ortalaması, ortalama etrafındaki gözlemlerin ne kadar uzaklaştığını göstermediği için tek başına kullanılması yanıltıcı olabilir. İşte bu noktada dağılım ölçüleri, bir veri setini daha derinlemesine anlamamızı sağlar.

3. Dağılım Ölçüleri Nelerdir?

Dağılım ölçüleri, genel olarak mutlak ve göreli olmak üzere iki grupta incelenir. Bu makalede mutlak dağılım ölçülerine odaklanacağız. En yaygın mutlak dağılım ölçüleri şunlardır:

● Değişim Aralığı
● Ortalama Sapma
● Standart Sapma
● Varyans

3.1. Değişim Aralığı

Değişim aralığı, bir veri setindeki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farkı gösterir. Hesaplaması kolaydır ve şu formülle ifade edilir:

Bu ölçü, veri setindeki sadece iki değeri dikkate aldığı için analitik değildir ve diğer gözlem değerlerini hesaba katmaz. Dolayısıyla, aşırı değerlere karşı duyarlıdır ve cebirsel işlemlere uygun değildir.

Değişim Aralığı Örneği:

Bir öğrencinin haftalık matematik test sonuçları şu şekildedir: 25, 28, 30, 33, 34. Bu sonuçlar için değişim aralığı şu şekilde hesaplanır:

Değişim Aralığ ​ı=34−25=9

Bu örnek, değişim aralığının sadece en büyük ve en küçük değerleri dikkate alarak hesaplandığını ve diğer değerleri göz ardı ettiğini göstermektedir.

3.2. Ortalama Sapma

Ortalama sapma, veri setindeki tüm değerlerin ortalamadan ne kadar saptığını gösteren bir ölçüdür. Aritmetik ortalamadan sapmaların mutlak değerlerinin ortalaması olarak hesaplanır. Hesaplama formülü şu şekildedir:

Bu ölçü, tüm gözlemleri dikkate aldığı için daha analitiktir, ancak mutlak değer aldığı için cebirsel işlemlere uygun değildir.

Ortalama Sapma Örneği:

Bir öğrencinin açlık kan şekeri ölçümleri 120, 130, 140 ve 150 birim olarak verilmiştir. Aritmetik ortalama 135’tir. Ortalama sapmayı hesaplamak için her bir değerin ortalamadan sapması alınır ve mutlak değeri hesaplanır:

Bu, gözlemlerin ortalamadan ortalama olarak 10 birim saptığını gösterir.

3.3. Standart Sapma

Standart sapma, bir veri setindeki gözlemlerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösteren en yaygın kullanılan dağılım ölçüsüdür. Sapmaların karelerinin ortalamasının karekökü olarak hesaplanır. Formülü şu şekildedir:

Standart sapma, cebirsel işlemlere uygun olması ve istatistiksel analizlerde geniş kullanım alanı bulması nedeniyle çok tercih edilen bir ölçüdür.

Standart Sapma Örneği:

Bir futbol takımının beş maçta attığı gol sayıları 2, 3, 4, 5 ve 6’dır. Bu serinin aritmetik ortalaması 4’tür. Standart sapmayı hesaplamak için her bir değerin ortalamadan sapmalarının karesi alınır:

1- Gözlem değerleri 12, 14, 16, 19, 25, 34 olan serinin değişim aralığı nedir?

A) 22
B) 12
C) 34
D) 23
E) 16

Cevap: A) 22

Açıklama: Değişim aralığı, en büyük değer (34) ile en küçük değer (12) arasındaki farktır. Bu yüzden cevap 22’dir.

2- Aşağıdaki serinin ortalama sapması nedir?

Xi: 6, 7, 9, 10, 13
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Cevap: B) 2

Açıklama: Serideki tüm değerlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının mutlak değerlerinin ortalaması alınarak hesaplanan sonuç 2’dir.

3- Standart sapması 11,5 olan serinin varyansı nedir?

A) 11,5
B) 21,5
C) 132,25
D) 22,5
E) 3,5

Cevap: C) 132,25

Açıklama: Varyans, standart sapmanın karesidir. 11,5² = 132,25’tir.

4- Varyansı 9 olan bir serinin standart sapması nedir?

A) 81
B) 9
C) 18
D) 12
E) 3

Cevap: E) 3

Açıklama: Standart sapma, varyansın kareköküdür. √9 = 3’tür.

5- Aritmetik ortalaması 6, kareli ortalaması 11 olan bir serinin varyansı nedir?

A) 5
B) 17
C) 8,5
D) 85
E) 11

Cevap: D) 85

Açıklama: Varyans, kareli ortalama ile aritmetik ortalama farkının karesi alınarak hesaplanır. (11 – 6)² = 85’tir.

6- Aritmetik ortalaması 9, kareli ortalaması 15 olan serinin standart sapması nedir?

A) 15
B) 12
C) 81
D) 225
E) 24

Cevap: B) 12

Açıklama: Standart sapma, kareli ortalama ile aritmetik ortalama farkının karekökü alınarak hesaplanır. √(15 – 9)² = 12’dir.

7- Aşağıdaki serinin varyansı nedir?

Xi: 3, 4, 7, 9, 12
A) 10,8
B) 3,4
C) 9
D) 8,7
E) 7,9

Cevap: A) 10,8

Açıklama: Varyans, ortalamadan sapmaların karelerinin ortalaması ile hesaplanır. Bu serinin varyansı 10,8’dir.

8- Aşağıdaki tasnif edilmiş serinin varyansı nedir?

Xi: 21, 44, 63, 82
A) 1,83
B) 3,36
C) 11,29
D) 4,2
E) 6,3

Cevap: B) 3,36

Açıklama: Varyans, sınıf ortalamaları ve frekanslar dikkate alınarak hesaplanır. Bu serinin varyansı 3,36’dır.

9- Bir seride yer alan bütün birimlerin aynı olması ya da eşit değer alması durumunda standart sapma ne olur?

A) Bir
B) Aritmetik ortalamaya eşit olur.
C) Sıfır
D) Bir şey söylenemez.
E) Ortalamanın yarısına eşit olur.

Cevap: C) Sıfır

Açıklama: Tüm birimler aynı olduğunda, ortalamadan sapma olmadığından standart sapma sıfır olur.

10- Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

I-Değişim aralığı serideki en büyük ve en küçük değer arasındaki farktır.
II-Ortalama sapma, birimlerin aritmetik ortalamadan mutlak sapmalarına dayalı bir ölçüdür.
III-Standart sapma bir kareli ortalamadır.
IV-Ölçü birimi farklı olan serilerin dağılma derecelerinin kıyaslanmasında standart sapma uygun bir ölçü değildir.
V- Ölçü birimleri farklı serilerin dağılma derecelerini kıyaslamada standart sapma uygun bir ölçüdür.
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

Cevap: E) V

Açıklama: Ölçü birimi farklı olan serilerin dağılma derecelerini kıyaslamada standart sapma uygun değildir. Dolayısıyla V ifadesi yanlıştır.