İstatistik Ünite -9

Nispi Dağılma Ölçüleri

Özlü Söz:
İstatistik belirsizlik altında karar almaktır.
– Arthur Conan Doyle

Kazanımlar

– Mutlak dağılma ölçülerinin ölçü birimi ya da terim büyüklüğü farklı serilerde kullanılamadığını öğrenir.

– Ölçü birimi ya da terim büyüklüğü farklı serilerde standart sapmanın yetersizliklerini fark eder.

– Ölçü birimi ya da terim büyüklükleri farklı serilerde değişim katsayısının önemini kavrar.

– Değişim katsayısının, sınırları belli bir nispi dağılma ölçüsü olduğunu anlar.

– Standart değerin ne olduğunu ve nasıl kullanıldığını öğrenir.

Birlikte Düşünelim

– Mutlak dağılma ölçüleri, bir dağılımın dağılma derecesini belirlemek için her koşulda kullanılabilir mi?

– Nispi dağılma ölçüleri nelerdir?

– Ölçü birimi farklı olan serilerin dağılma dereceleri nasıl kıyaslanır?

– Terim büyüklükleri farklı olan serilerin dağılma dereceleri nasıl kıyaslanır?

– Bir gözlem değeri, ait olduğu dağılım içinde nasıl değerlendirilir?

Giriş

Bir önceki bölümde mutlak dağılma ölçülerini incelemiştik. Mutlak dağılma ölçüleri, gözlem değerlerinin birbirinden ya da aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösteren önemli istatistiksel ölçülerdir. Bu ölçülerin arasında en yaygın kullanılanlar standart sapma ve varyanstır. Ancak, bu ölçüler ölçü birimi ya da terim büyüklüğü değiştiğinde, özellikle farklı serileri karşılaştırmada yetersiz kalabilmektedir. Böyle durumlarda, nispi dağılma ölçüleri tercih edilir. Nispi dağılma ölçüleri arasında en önemlisi değişim katsayısıdır.

Bu bölümde değişim katsayısını ve standart değeri ayrıntılı olarak inceleyeceğiz. Bu ölçüler, farklı birimlerdeki verilerin karşılaştırılmasına olanak sağlar ve bir dağılımın ne derece homojen olduğunu anlamamıza yardımcı olur.

Değişim Katsayısı

Değişim katsayısı (Coefficient of Variation – CV), bir dağılımın nispi dağılma derecesini belirlemek için kullanılan bir ölçüdür. Mutlak dağılma ölçüleri, bir dağılımın genel karakterini ortaya koysa da, özellikle ölçü birimi ya da terim büyüklüğü farklı olan seriler arasında karşılaştırma yapılmak istendiğinde standart sapma yanıltıcı olabilir. Değişim katsayısı ise, bu zorlukları aşmak amacıyla geliştirilmiştir.

Bu formülde, serinin standart sapması aritmetik ortalamasına bölünerek yüzdelik bir oran elde edilir. Böylece, serinin büyüklüğünden ve ölçü biriminden bağımsız bir oranla dağılımın homojenliği hakkında bilgi sahibi oluruz.

Değişim katsayısı, aynı ölçü birimine sahip olmayan ya da terim büyüklükleri farklı olan serilerde oldukça faydalıdır. Çünkü, ölçü birimlerinin ve terim büyüklüklerinin etkisini ortadan kaldırarak farklı verilerin karşılaştırılmasına olanak sağlar. Bu da değişim katsayısını, özellikle karşılaştırmalı analizlerde oldukça kullanışlı kılar.

Örnek:

Aşağıda, bir verinin kilogram ve ton cinsinden ölçüldüğü iki seri verilmiştir. İlk olarak ortalama ve standart sapmalarını hesaplayalım, ardından değişim katsayılarını bulalım:

A Serisi için:

– Aritmetik Ortalama: 3 ton
– Standart Sapma: 0.5 ton

B Serisi için:

– Aritmetik Ortalama: 3000 kg
– Standart Sapma: 500 kg

Standart sapmalar karşılaştırıldığında, B serisinin sapmasının daha yüksek olduğu görülür. Ancak bu sonuç yanıltıcıdır çünkü her iki seri aynı veriyi temsil etmektedir, ancak farklı ölçü birimleri kullanılmıştır. Şimdi her iki serinin değişim katsayılarını hesaplayalım:

Her iki serinin değişim katsayıları aynı sonuç verdi. Bu, her iki serinin aynı dağılıma sahip olduğunu ve terim büyüklüklerinin veya ölçü birimlerinin bu karşılaştırmayı etkilemediğini göstermektedir. Bu nedenle, değişim katsayısı özellikle farklı birimlere sahip serilerin kıyaslanmasında standart sapmadan daha kullanışlıdır.

Değişim Katsayısının Kullanım Alanları

Değişim katsayısı özellikle, farklı birimler veya büyüklüklerdeki verilerin homojenlik derecesini anlamak için kullanılır. Örneğin, iki farklı sektördeki maaş dağılımlarını karşılaştırmak için kullanılabilir. Biri ABD doları cinsinden, diğeri Euro cinsinden olan maaş dağılımlarını standart sapmaları ile kıyaslamak yanıltıcı olacaktır. Ancak, değişim katsayıları ile doğru bir karşılaştırma yapılabilir.

Standart Değer

Bir dağılımın homojenlik derecesini belirlemenin yanı sıra, bir gözlem değerinin ait olduğu dağılım içindeki yerini belirlemek de önemlidir. Standart değer (z-skoru) bu amaçla kullanılan bir istatistiksel ölçüdür. Standart değer, bir gözlem değerinin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu gösterir. Bu, gözlem değerini farklı dağılımlardaki diğer gözlem değerleri ile kıyaslamayı mümkün kılar.

Standart değer, bir serideki her bir gözlem değerini standardize ederek, bu değerlerin farklı serilerdeki gözlem değerleriyle karşılaştırılmasını sağlar. Standart değer, özellikle bağıl değerlendirmelerde (örneğin öğrencilerin başarı sıralamaları) kullanılır.

Örnek:

Bir öğrencinin matematik ve istatistik derslerinden aldığı notlar aşağıdaki gibidir:

Bu durumda, öğrencinin hangi derste daha başarılı olduğunu belirlemek için standart değeri hesaplayalım:

Bu sonuçlara göre, öğrenci matematikten daha yüksek bir not almasına rağmen, istatistik dersinde sınıf ortalamasına göre daha başarılıdır. Çünkü istatistik dersinde aldığı not, sınıf ortalamasından daha fazla sapmıştır.

Bölüm Özeti

Bu bölümde, mutlak dağılma ölçülerinin ölçü birimi veya terim büyüklüğü farklı serilerde yetersiz kaldığını gördük. Bu eksikliği gidermek için nispi dağılma ölçüleri geliştirilmiştir. Değişim katsayısı, bu ölçüler arasında en yaygın kullanılanıdır. Aynı zamanda standart değer, farklı dağılımlar arasındaki gözlem değerlerinin kıyaslanmasını sağlayan önemli bir araçtır. Bu araçlar, istatistiksel analizlerde karşılaştırmalı değerlendirme yaparken büyük önem taşır.

1- ………………….terim büyüklüğünün ve ölçü biriminin etkisi altında olmayan bir dağılma ölçüsüdür.

A) Değişim katsayısı
B) Değişim aralığı
C) Ortalama sapma
D) Standart sapma
E) Varyans

Cevap: A) Değişim katsayısı

Açıklama: Değişim katsayısı, terim büyüklüğünden ve ölçü biriminden etkilenmeyen nispi bir dağılma ölçüsüdür.

2- Herhangi bir gözlem değerinin bir dağılım içinde nerede yer aldığını belirlemede ……………. kullanılır.

A) Değişim katsayısı
B) Standart değer
C) Standart sapma
D) Varyans
E) Ortalama sapma

Cevap: B) Standart değer

Açıklama: Standart değer, bir gözlem değerinin dağılım içerisindeki yerini belirlemek için kullanılan bir ölçüdür.

3- Ortalamaya eşit bir gözlem değerinin standart değeri nedir?

A) Birdir
B) Ortalama değeridir
C) Sıfırdır
D) Pozitif bir değerdir
E) Negatif bir değerdir

Cevap: C) Sıfırdır

Açıklama: Ortalamaya eşit bir gözlem değerinin standart değeri sıfır olur.

4- Bütün birimleri aynı olan bir dağılımın değişim katsayısı ne olur?

A) Bir
B) Ortalama değere eşit
C) Ortalamanın yarısına eşit olur
D) Pozitif bir değer olur
E) Sıfır

Cevap: E) Sıfır

Açıklama: Tüm birimlerin aynı olduğu bir dağılımda herhangi bir sapma olmadığı için değişim katsayısı sıfırdır.

5- Standart sapması 5, aritmetik ortalaması 11 olan dağılımın değişim katsayısı nedir?

A) %2,2
B) %0,4545
C) %220
D) %45,45
E) %6

Cevap: D) %45,45

Açıklama: Değişim katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünmesiyle hesaplanır ve % ile ifade edilir.

6- Ortalaması 65 ve standart sapması 12 olan bir sınavda 80 notunun standart değeri nedir?

A) 2,3
B) 1,25
C) 1,4
D) 1,75
E) 1,35

Cevap: B) 1,25

Açıklama: Standart değer, gözlem değerinin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu gösterir. Bu formül ile hesaplanır: (80 – 65) / 12 = 1,25

7- Bir dağılım içinde ortalamanın üstünde yer alan bir birimin standart değeri nasıl değer alır?

A) Pozitif değer alır
B) Negatif değer alır
C) Sıfır olur
D) Bir değerini alır
E) Bir şey söylenemez

Cevap: A) Pozitif değer alır

Açıklama: Bir gözlem değeri ortalamanın üstünde ise pozitif bir z değeri alır.

8- Bir dağılım içinde ortalamanın altında yer alan bir birimin standart değeri nasıl değer alır?

A) Pozitif değer alır
B) Negatif değer alır
C) Sıfır olur
D) Bir değerini alır
E) Bir şey söylenemez

Cevap: B) Negatif değer alır

Açıklama: Ortalamanın altında yer alan bir gözlem değeri negatif bir z değeri alır.

9- Bir dağılımın aritmetik ortalaması ve standart sapmasının aynı değere sahip olması durumunda değişim katsayısının değeri ne olur?

A) % 0
B) % 1
C) % 100
D) Ortalamaya eşit olur
E) Standart sapmaya eşit olur

Cevap: C) %100

Açıklama: Değişim katsayısı, standart sapmanın ortalamaya bölünmesiyle hesaplanır. Eğer her ikisi aynı değere sahipse sonuç %100 olur.

10- Aritmetik ortalaması 80 ve standart sapması 10 olan bir dağılımda 70’e karşılık gelen z değeri nedir?

A) 70
B) 80
C) 0
D) 1
E) -1

Cevap: E) -1

Açıklama: Z değeri şu formül ile hesaplanır: (70 – 80) / 10 = -1, bu da 70’in ortalamanın altında olduğunu gösterir.