İstatistik Ünite -10

Olasılık – Temel Kavramlar

Özlü Söz:

“Talih, istatistik ve olasılığı bilmeyenlerin tesellisidir.”
Orhan Pamuk

Kazanımlar:

Bu bölüm sonunda okuyucu:

– Olasılık kavramını günlük hayatla ilişkilendirerek temel bilgi sahibi olur.
– Basit ve birleşik olaylar arasındaki farkları öğrenir.
– Bağdaşan ve bağdaşmayan olaylar hakkında bilgi edinir.
– Koşullu olasılık ve istatistiksel bağımsızlık kavramlarını öğrenir.
– Permütasyon ve kombinasyon analizlerini kavrar.

Giriş:

İnsan hayatında kesinlik geçmişte kalan bir olgudur; gelecek ise daima belirsizliklerle doludur. Bu belirsizliklerin ortasında, hayatımızı planlarken olasılıkları değerlendiririz. Günlük yaşantımızda karşılaştığımız birçok durum olasılık hesaplamaları ile ilişkilidir. Ancak bu hesaplamalar çoğu zaman farkında olmadan yapılır.

Örneğin, hava durumuna bakarak şemsiye alıp almamaya karar veririz, bir sınava çalışırken hangi konulardan soru çıkma ihtimalini değerlendiririz ya da tuttuğumuz takımın kazanma olasılığını tahmin ederiz. Tüm bu değerlendirmeler aslında kişisel tecrübelerimize ve geçmiş verilere dayanarak yapılan subjektif olasılık hesaplamalarıdır. Diğer yandan, objektif olasılık bilimsel ve matematiksel temellere dayanır.

1. Olasılık Kavramı:

Olasılık, belirsizlik içindeki geleceği anlamaya çalışan bir bilim dalıdır. Olasılık kuramı, tesadüfi deneyler sonucunda ortaya çıkan olayların frekanslarına dayanarak bir olayın meydana gelme olasılığını tahmin eder. Temelde olasılık iki farklı yaklaşımla ele alınır: subjektif olasılık ve objektif olasılık.

1.1. Subjektif Olasılık:

Subjektif olasılık, bireylerin geçmiş deneyimlerine ve kişisel değerlendirmelerine dayanır. Örneğin, bir kişinin sabah gökyüzüne bakarak hava durumunu tahmin etmesi ya da bir öğrencinin sınavda hangi konulardan soru geleceğini tahmin etmesi subjektif olasılıkların örnekleridir. Bu tür olasılık, kişiden kişiye değişiklik gösterebilir ve kesinlikle kişisel bir değerlendirmedir. Bu yüzden, subjektif olasılık istatistiğin konusu değildir.

1.2. Objektif Olasılık:

Objektif olasılık, tamamen matematiksel ve deneysel verilere dayanır. Hilesiz bir parayı havaya attığımızda, yazı gelme olasılığının 1/2 olduğunu biliriz. Bu olasılık, herkes için aynıdır ve değişmez. Objektif olasılık, belirli bir olayın belirli koşullar altında gerçekleşme ihtimalini ölçen ve evrensel bir değer sunan bir kavramdır.

2. Olasılık Kuramı:

Olasılık kuramı, belirli koşullarda hangi sonuçların elde edilebileceği üzerine yapılan matematiksel hesaplamalardır. Bu kuram, olayların belirli bir düzenle meydana gelme sıklıklarına dayanarak olasılık değerlerini hesaplar. Tesadüfi deneyler sonucunda elde edilen olasılık değerleri, uzun vadede bir olayın tekrarlanma sıklığını tahmin etmeye yöneliktir.

2.1. Olasılık Hesabı:

Olasılık hesapları şu temel formülle yapılır:

​

Örneğin, hilesiz bir zar atıldığında, çift sayı gelme olasılığı şu şekilde hesaplanır:

Çift sayı olma durumu (2, 4, 6) olduğundan elverişli sonuç sayısı 3, toplam sonuç sayısı ise 6’dır. Bu durumda, çift sayı gelme olasılığı:

​

3. Bağdaşan ve Bağdaşmayan Olaylar:

3.1. Bağdaşmayan Olaylar:

Bağdaşmayan olaylar, aynı anda meydana gelmesi mümkün olmayan olaylardır. Örneğin, bir iskambil destesinden çekilen kartın hem kupa hem de karo olma olasılığı sıfırdır, çünkü bu iki olay birbirini dışlar. Bağdaşmayan olaylarda olasılık, olayların olasılıklarının toplamı ile hesaplanır.

3.2. Bağdaşan Olaylar:

Bağdaşan olaylar, aynı anda meydana gelebilen olaylardır. Örneğin, bir zar atıldığında üste gelen yüzün çift ve üçten büyük olma olasılığı bağdaşan olaylardır, çünkü bu iki koşul aynı anda sağlanabilir.

4. Koşullu Olasılık:

Koşullu olasılık, bir olayın başka bir olayın gerçekleşmesi durumunda meydana gelme olasılığıdır. Örneğin, bir iskambil destesinden çekilen kartın kupa olması halinde as olma olasılığı koşullu olasılıktır. Bu tür olasılıklar, A olayının gerçekleşmesi koşuluyla B olayının olma olasılığını ölçer.

Koşullu olasılık formülü:

​

Bu formül, A olayının gerçekleşmesi durumunda B olayının olasılığını hesaplar.

5. Bağımsız ve Bağımlı Olaylar:

5.1. Bağımsız Olaylar:

Bağımsız olaylar, bir olayın gerçekleşmesinin diğer olayın sonucunu etkilemediği olaylardır. Örneğin, bir zar atma deneyi ile bir parayı havaya atma deneyi birbirinden bağımsızdır, çünkü birinin sonucu diğerini etkilemez.

5.2. Bağımlı Olaylar:

Bağımlı olaylar ise, bir olayın sonucu diğerini etkileyen olaylardır. Örneğin, bir torbadan ardışık olarak iki top çekildiğinde, ilk topun çekilmesi ikinci topun çekilme olasılığını değiştirir.

6. Permütasyon ve Kombinasyon:

6.1. Permütasyon:

Permütasyon, belirli bir sırayla yerleştirilen nesnelerin farklı sıralanma sayısını ifade eder. Bir kümeden seçilen n elemanın sıralama sayısı permütasyon formülü ile hesaplanır:

​

6.2. Kombinasyon:

Kombinasyon, sıralama farkı gözetmeksizin nesnelerin grup oluşturma sayısını belirler. Kombinasyon formülü:

​

Sonuç:

Olasılık, günlük hayatın içinde önemli bir yer tutar ve belirsizliklerle başa çıkmamızı sağlar. Bu yazıda olasılık kuramının temel kavramlarını ele alarak, subjektif ve objektif olasılık arasındaki farkları, basit ve birleşik olayları, koşullu olasılığı ve bağımsız olayları inceledik. Ayrıca permütasyon ve kombinasyon gibi olasılık hesaplarında kullanılan yöntemlere değindik. Olasılık kuramı, hayatın her alanında belirsizlikleri anlamlandırmamızda ve karar süreçlerimizi daha rasyonel temellere oturtmamızda bize yardımcı olur.

1- Kişilerin beklenti ve isteklerine göre belirledikleri, insandan insana değişen olasılığa ———- denir.

A) Olasılık
B) Objektif olasılık
C) Sübjektif olasılık
D) Koşullu olasılık
E) Olasılık dağılımı

Cevap-1 : C) Sübjektif olasılık

Açıklama : Sübjektif olasılık, kişinin kendi deneyimlerine ve inançlarına göre belirlediği olasılıklardır ve kişiden kişiye farklılık gösterir.

2- Hilesiz bir zar atıldığında üste gelen yüzün çift sayı olması olasılığı nedir?

A) 1/6
B) 2/6
C) 1/4
D) 1/2
E) 3/6

Cevap-2 : D) 1/2

Açıklama : Hilesiz bir zar atıldığında çift sayı gelme olasılığı, çift sayıların (2, 4, 6) sayısı 3 ve toplam yüz sayısı 6 olduğundan 1/2’dir.

3- İki para birlikte atılıyor. En az bir paranın yazı gelmesi olasılığı nedir?

A) 3/4
B) 1/4
C) 2/4
D) 1/8
E) 1/2

Cevap-3 : A) 3/4

Açıklama : İki para atıldığında dört olasılık vardır (Yazı-Yazı, Yazı-Tura, Tura-Yazı, Tura-Tura). En az bir yazı gelmesi üç durumda mümkündür, bu yüzden olasılık 3/4’tür.

4– Hilesiz bir zarın atılması olayında üste gelen yüzün 6 olmama olasılığı nedir?

A) 1/6
B) 5/6
C) 4/6
D) 3/6
E) 2/6

Cevap-4 : B) 5/6

Açıklama : Bir zarın atılması durumunda 6 gelmeme olasılığı, 6 haricindeki sayıların (1, 2, 3, 4, 5) sayısı 5 olduğu için 5/6’dir.

5- Hilesiz bir zar atılıyor, üste gelen yüzün tek sayı olması veya 4’den büyük sayı gelmesi olasılığı nedir?

A) 4/6
B) 3/6
C) 5/6
D) 1/6
E) 2/6

Cevap-5 : A) 4/6

Açıklama : Tek sayılar (1, 3, 5) ve 4’ten büyük sayılar (5, 6) olduğu için, toplamda 4 farklı sayı vardır ve olasılık 4/6’dır.

6- 52 karttan oluşan iskambil destesinden tesadüfen çekilen bir kartın kupa olması halinde as olması olasılığı nedir?

A) 3/13
B) 2/13
C) 4/13
D) 5/13
E) 1/13

Cevap-6 : E) 1/13

Açıklama : 52 kart içinde 13 kupa vardır, ve bu 13 kupa arasında sadece 1 tane as vardır, bu yüzden olasılık 1/13’tür.

7- Bir odada bulunan 4 kişi 4 sandalyeye kaç değişik şekilde oturtulabilir?

A) 12
B) 24
C) 16
D) 18
E) 20

Cevap-7 : B) 24

Açıklama : 4 kişi 4 sandalyeye permütasyonla oturtulabilir ve bu 4! = 4x3x2x1 = 24 farklı şekilde gerçekleşir.

8- Bir serviste görev yapmakta olan 5 hemşireden iki tanesi gece nöbetine kalacaktır. Söz konusu iki hemşire kaç değişik şekilde seçilebilir?

A) 120
B) 60
C) 10
D) 18
E) 16

Cevap-8 : C) 10

Açıklama : 5 hemşire arasından iki kişi seçme kombinasyonuyla hesaplanır. Bu, 5’in 2’li kombinasyonu olan 10 farklı şekilde yapılabilir.

9- 10 kişinin katılacağı bir çekilişte zarfların 5 tanesinde sinema, 5 tanesinde de tiyatro bileti bulunmaktadır. İki arkadaş birlikte birer zarf çektiğinde her ikisinde de sinema bileti bulunması olasılığı nedir?

A) 20/90
B) 10/90
C) 30/90
D) 5/10
E) 5/20

Cevap-9 : A) 20/90

Açıklama : İki arkadaşın her ikisinin de sinema bileti çekme olasılığı, 5 sinema bileti içinden iki tanesinin seçilme olasılığıdır. Bu olasılık 20/90’dır.

10- 5 kişilik bir yönetim kurulundan 3 kişilik bir komisyon kaç değişik şekilde oluşturulabilir?

A) 3
B) 5
C) 4
D) 8
E) 10

Cevap-10 : E) 10

Açıklama : 5 kişilik yönetim kurulundan 3 kişilik komisyon oluşturma kombinasyon ile hesaplanır ve 5’in 3’lü kombinasyonu 10’dur.