İstatistik Ünite -11

Olasılık – Tesadüfi Değişken, Olasılık Dağılımı ve Beklenen Değer

Özlü Söz “Hiçbir şey imkânsız değildir. Ama belirli şeyler olasılık dışıdır ya da olasılıksızdır.”
— Adam Fawer

Kazanımlar

– Tesadüfi değişken kavramını ve türlerini öğrenir.
– Beklenen değer kavramını tanır ve hesaplayabilir.
– Olasılık dağılımı yaratma sürecini bilir.
– Olasılık dağılımlarına yönelik ayrımları kavrar.
– Olasılık dağılımından söz edebilmek için gerekli koşulları anlar.

Birlikte Düşünelim

– Olasılıklar doğru değerlendirilerek belirsizlik azaltılabilir mi?
– Olasılıklar üzerinden yapılan analizler, geleceği planlamada başarı olasılığını artırabilir mi?
– Olasılığın yüksek olması her zaman beklenen sonuçları mı doğurur?

Başlamadan Önce

Önceki bölümde olasılık tanımını, temel kavramlarını ve basit olasılık hesaplarını inceledik. Bu bölümde ise olasılık teorisinin daha ileri seviyelerine geçerek tesadüfi değişken (rastgele değişken), olasılık dağılımı ve beklenen değer kavramlarını ele alacağız. Bu kavramlar, olasılık teorisinin yapı taşlarını oluşturur ve özellikle belirsizlik altında karar almayı gerektiren süreçlerde hayati önem taşır.

Giriş

Olasılık teorisinin en temel bileşenlerinden biri olan “tesadüfi değişken” kavramı, bir deneyin sayısal sonuçlarıyla ilgilenir. Tesadüfi değişkenler, bir deney sonucunda ortaya çıkan olasılıkla ilişkilendirilen değişkenlerdir. Bu değişkenler kesikli veya sürekli olabilir ve her biri bir olasılık dağılımı ile tanımlanır.

Bir başka önemli kavram da “beklenen değer”dir. Beklenen değer, bir tesadüfi değişkenin uzun dönemde alacağı ortalama değeri temsil eder ve özellikle sigorta, finans ve risk analizi gibi alanlarda kritik bir rol oynar.

11.1 Tesadüfi (Rastlantısal) Değişken

Tesadüfi değişken, bir deneyin mümkün sonuçlarının sayısal bir değerle ifade edilmesidir. Örneğin, bir madeni paranın atılması sonucu yazı veya tura gelmesi olayını ele alalım. Bu deneyin sonucu ya yazı (1) ya da tura (2) olacaktır. Dolayısıyla, burada tesadüfi değişken iki olası değer alabilir: 1 veya 2.

Tesadüfi değişkenler genellikle büyük harflerle (X, Y, Z) gösterilirken, bu değişkenlerin aldığı değerler küçük harflerle (x, y, z) gösterilir. Örneğin, bir zar atıldığında X, zarın üste gelen yüzü olsun. X, bu deneyde 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 değerlerinden birini alacaktır.

Tesadüfi değişkenler iki ana kategoride incelenir:

– Kesikli Tesadüfi Değişkenler: Sonuçlar sayılabilir nitelikte olduğunda kesikli tesadüfi değişkenler söz konusudur. Örneğin, bir zarın atılması sonucu 1 ile 6 arasında bir tam sayı elde edilir.

– Sürekli Tesadüfi Değişkenler: Sürekli değişkenler, belirli bir aralık içinde herhangi bir değer alabilir. Örneğin, bir kişinin boyu sürekli bir değişkendir, çünkü ölçülebilecek sonsuz sayıda değer vardır.

11.2 Olasılık Dağılımı

Olasılık dağılımı, bir tesadüfi değişkenin alabileceği değerlerin her birine karşılık gelen olasılıkların gösterimidir. Başka bir deyişle, olasılık dağılımı, bir deneyin mümkün tüm sonuçlarına olasılık atayarak tesadüfi değişkenin bu sonuçlara bağlı olarak nasıl davrandığını gösterir.

Kesikli Olasılık Dağılımı: Eğer tesadüfi değişken sadece belirli sayıda değeri alabiliyorsa, bu dağılıma kesikli olasılık dağılımı denir. Örneğin, bir zarın atılma deneyinde olasılık dağılımı şu şekildedir:

1  gelme olasılığı: 1/6
2 gelme olasılığı: 1/6
3 gelme olasılığı: 1/6
4 gelme olasılığı: 1/6
5 gelme olasılığı: 1/6
6 gelme olasılığı: 1/6

Bu dağılımda, tüm olasılıkların toplamı her zaman 1 olmalıdır.

Sürekli Olasılık Dağılımı: Eğer tesadüfi değişken sürekli bir değer alıyorsa, sürekli olasılık dağılımı söz konusudur. Sürekli değişkenlerde tek tek değerlerin olasılıkları sıfırdır, bu nedenle olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) kullanılır ve bir aralık içindeki olasılık hesaplanır.

Bir olasılık dağılımının oluşabilmesi için şu koşullar sağlanmalıdır:

1- Her sonuca bir olasılık atanmalı.
2- Olasılıkların toplamı 1 olmalı.
3- Bağdaşmayan sonuçlar için birleşik olasılık, basit olayların olasılıklarının toplamı olarak hesaplanmalı.

11.3 Beklenen Değer

Beklenen değer, bir tesadüfi değişkenin uzun dönemde alması beklenen ortalama değerdir. Bu, her bir olasılığın ağırlıklı ortalamasını temsil eder ve “matematiksel ümit” olarak da bilinir. Beklenen değer, özellikle risk analizi, sigorta ve finans gibi alanlarda önemli bir rol oynar.

Beklenen değer şu şekilde hesaplanır:

​

Yani, her bir olası sonucun olasılığı ile sonucu çarparak toplamlarını alırız.

Örnek 1: Bir zar atıldığında beklenen değer nedir?

Zar atıldığında olası sonuçlar 1, 2, 3, 4, 5 ve 6’dır ve her bir sonucun olasılığı eşittir (1/6). Beklenen değer şu şekilde hesaplanır:

Bu durumda, zarın uzun vadede ortalama sonucu 3.5’tir.

Tesadüfi Değişken ve Olasılık Dağılımına Örnek

Örnek 2: İki zarın aynı anda atılması sonucu üste gelen sayıların toplamının olasılık dağılımını hesaplayalım.

İki zar atıldığında toplam sonuçlar şu şekildedir: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Bu sonuçların her birinin olasılığı, zarların kombinasyonlarına göre farklılık gösterir. Örneğin:

– 2 gelme olasılığı: 1/36 (1+1)
– 7 gelme olasılığı: 6/36 (1+6, 2+5, 3+4, vb.)
– 12 gelme olasılığı: 1/36 (6+6)

Tüm olasılıkların toplamı yine 1 olacaktır ve bu dağılım bir kesikli olasılık dağılımıdır.

Bölüm Özeti

Bu bölümde, tesadüfi değişkenlerin nasıl tanımlandığını ve olasılık dağılımlarının nasıl oluşturulduğunu öğrendik. Ayrıca, beklenen değerin nasıl hesaplandığını ve bu kavramların hangi durumlarda kullanıldığını gördük. Tesadüfi değişkenler, olasılık dağılımı ve beklenen değer, olasılık teorisinin temelini oluşturan önemli kavramlardır ve özellikle belirsizlik altında yapılan tahmin ve analizlerde kullanılır

1- Bir tesadüfi deney sonucunda ortaya çıkabilecek mümkün sonuçlara sayısal bir değer verilerek ———- tanımlanmış olur.

A) Tesadüfi deney
B) Olasılık dağılımı
C) Tesadüfi değişken
D) Örnek uzayı
E) Mümkün sonuçlar kümesi

Cevap: C) Tesadüfi değişken

Açıklama: Tesadüfi değişken, bir tesadüfi deneyin sonuçlarına sayısal değer atanarak tanımlanır.

2- Bir tesadüfi değişkenin alabileceği tüm değerlere olasılıkların nasıl dağıldığı gösterilerek ———- yaratılmış olur.

A) Tesadüfi deney
B) Tesadüfi değişken
C) Örnek uzayı
D) Olasılık dağılımı
E) Beklenen değer

Cevap: D) Olasılık dağılımı

Açıklama: Olasılık dağılımı, bir tesadüfi değişkenin olasılıklarının dağılımını gösterir.

3- Olasılık dağılımından söz edebilmek için, mümkün sonuçlara ait olasılık toplamının ———- olması gerekir.

A) Bir
B) Sıfır
C) Yüz
D) Birden küçük
E) Birden büyük

Cevap: A) Bir

Açıklama: Olasılık dağılımında tüm olasılıkların toplamı 1 olmalıdır.

4- Bir tesadüfi değişkenin alabileceği tüm mümkün sonuçlarının olasılıklarına göre ağırlıklı ortalamasına ———- denir.

A) Tesadüfi deney
B) Beklenen değer
C) Örnek uzayı
D) Olasılık dağılımı
E) Tesadüfi değişken

Cevap: B) Beklenen değer

Açıklama: Beklenen değer, bir tesadüfi değişkenin ağırlıklı ortalamasıdır.

5- Bir kesikli tesadüfi değişkenin olasılık dağılımına ———-. denir.

A) Kesikli olasılık dağılımı
B) Sürekli olasılık dağılımı
C) Olasılık yoğunluğu
D) Olasılık yoğunluk fonksiyonu
E) Olasılık fonksiyonu

Cevap: A) Kesikli olasılık dağılımı

Açıklama: Kesikli tesadüfi değişkenin olasılıkları kesikli olasılık dağılımı ile tanımlanır.

6- Sürekli bir tesadüfi değişkenin olasılık dağılımına ———- denir.

A) Kesikli olasılık dağılımı
B) Süreksiz olasılık dağılımı
C) Olasılık dağılımı
D) Olasılık fonksiyonu
E) Sürekli olasılık dağılımı

Cevap: E) Sürekli olasılık dağılımı

Açıklama: Sürekli tesadüfi değişkenlerin olasılıkları, sürekli olasılık dağılımı ile gösterilir.

7- İki paranın aynı anda atılması deneyi bir tesadüfi değişken olarak tanımlanırsa, bu tesadüfi değişkenin kaç tane mümkün sonucu olabilir?

A) 2
B) 4
C) 1
D) 0
E) 3

Cevap: B) 4

Açıklama: İki paranın aynı anda atılmasında dört olası sonuç vardır: (Yazı-Yazı), (Yazı-Tura), (Tura-Yazı), (Tura-Tura).

8- Hilesiz bir zarın atılması deneyi bir tesadüfi değişken olarak tanımlandığında kaç adet mümkün sonuç söz konusudur?

A) 1
B) 2
C) 6
D) 3
E) 2

Cevap: C) 6

Açıklama: Zar atılınca 6 farklı sonuç mümkündür: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

9- Zar atılması deneyi bir tesadüfi değişken olarak tanımlanırsa, üste gelen yüz kadar puan alınması söz konusu olduğunda beklenen değer nedir?

A) 21/6
B) 1/6
C) 2/6
D) 15/6
E) 13/6

Cevap: A) 21/6

Açıklama: Zar atıldığında, beklenen değer (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6’dır.

10- Bir futbol takımının daha önceki sezonda yapmış olduğu maçlar incelenerek, futbol takımının alabileceği puanlar ve bu puanların hangi olasılıklarla ortaya çıkabileceği aşağıdaki tablo ile düzenlenmiştir.
X=xi
Mağlup olduğunda 0 puan
Berabere kaldığında 1 puan
Galip geldiğinde 3 puan
P(X=xi) 0,30 0,20 0,50
Buna göre, takımın yaptığı maçlarda kazandığı puanların beklenen değeri nedir?

A) 2.00
B) 1,5
C) 1,8
D) 1,6
E) 1,7

Cevap: E) 1,7

Açıklama: Beklenen değer hesaplanırken, her sonucun olasılığı ile çarpımı alınarak toplam hesaplanır: (0.30 * 0) + (0.20 * 1) + (0.50 * 3) = 1.7 puan.