İstatistik Ünite -12

Giriş

istatistikte ve olasılık teorisinde en önemli ve yaygın kullanılan dağılımlardan biridir. Bu dağılım, gerçek dünyada çok sayıda olay ve veri kümesinin analizinde kullanılır. İstatistiksel süreçlerin birçok alanında karşılaşılan bu dağılım, popülasyon içindeki bireylerin büyük bir kısmının belirli bir aralıkta yoğunlaştığı, daha az kısmının ise uç değerlerde yer aldığı durumları açıklar. Normal dağılımın şekli simetriktir ve genellikle “çan eğrisi” olarak adlandırılır çünkü eğrinin şekli bir çanı andırır.

Normal Dağılım Nedir?

Bir sürekli olasılık dağılımıdır ve genellikle bir veri kümesinin ortalaması etrafında simetrik bir şekilde dağıldığını gösterir. Bu dağılım, veri setinin ortalamasının etrafında yoğunlaştığını ve bu ortalamadan uzaklaştıkça verilerin daha az olduğunu ifade eder. Yani, çoğu gözlem merkezi değer etrafında yoğunlaşırken, uç değerler daha nadiren gözlenir.

Bir normal dağılımın iki temel parametresi vardır: aritmetik ortalama (μ) ve standart sapma (σ). Aritmetik ortalama, verilerin merkezi eğilimini ifade ederken, standart sapma, verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösterir. Standart sapma ne kadar büyükse, veriler ortalamadan o kadar uzaklaşır ve dağılım daha geniş olur; standart sapma küçüldükçe dağılım daha dar ve yoğun hale gelir.

Neden “Normal” Dağılım Denir?

Doğada ve insan yaşamında çok sayıda gözlemin bu dağılıma uygun olması nedeniyle “normal” olarak adlandırılır. Örneğin, insanların boy uzunlukları, zekâ testleri sonuçları, ürün ağırlıkları gibi birçok sürekli değişken normal dağılım gösterir. Bir popülasyondaki bireylerin çoğunluğu ortalama bir değere yakınken, çok az sayıda birey uç değerlerde yer alır. Bu nedenle, bu tür dağılımlar normal olarak kabul edilir ve çoğu durumda “doğal” bir dağılım olarak görülür.

Normal Dağılımın Özellikleri

Normal dağılımın bazı belirleyici özellikleri şunlardır:

1- Simetri: Normal dağılım eğrisi simetriktir. Bu, verilerin ortalama değerin iki tarafında eşit olarak dağıldığını ifade eder.

2- Çan Eğrisi: Normal dağılımın şekli çana benzer. En yüksek nokta, verilerin ortalamasını gösterir ve ortalamadan uzaklaştıkça eğri aşağıya doğru eğilir.

3- Ortalama, Medyan, Mod Aynıdır: Normal dağılımda, ortalama (aritmetik ortalama), medyan (ortanca değer) ve mod (en sık gözlenen değer) aynı değere sahiptir. Bu da dağılımın simetrik yapısının bir sonucudur.

4- Standart Sapmanın Etkisi: Standart sapma, normal dağılımın yayılma derecesini belirler. Standart sapma arttıkça, dağılım daha geniş ve düz bir hal alırken, azaldıkça dağılım daralır ve daha keskin bir eğri oluşturur.

5- Toplam Alan 1’dir: Normal dağılım eğrisinin altında kalan toplam alan 1’dir. Bu, olasılıkların toplamının her zaman 1 olduğunu gösterir.

6- Uç Değerler: Normal dağılımın uç noktalarında (yani, ortalamadan çok uzak değerlerde) gözlem sıklığı çok düşüktür. Bu nedenle, uç değerler nadir gözlenir.

Standart Normal Dağılım

Standart normal dağılım, normal dağılımın özel bir türüdür. Standart normal dağılımda ortalama 0 ve standart sapma 1 olarak tanımlanır. Normal dağılıma sahip herhangi bir veri kümesi, z dönüşümü adı verilen bir işlemle standart normal dağılıma dönüştürülebilir. Z dönüşümü, bir veri noktasının kendi ortalamasından kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu ifade eder. Bu, aşağıdaki formülle hesaplanır:

​

Burada, X veri noktasıdır, μ ortalama, σ ise standart sapmadır. Z dönüşümü ile, veri setindeki her bir gözlem, standart normal dağılımda bir karşılık bulur. Bu yöntem, farklı ölçeklerdeki veri setlerini karşılaştırmayı ve standart normal dağılım tablosu kullanarak olasılık hesaplamalarını kolaylaştırmayı sağlar.

Standart Normal Dağılımın Kullanımı ve Önemi

Standart normal dağılım tablosu, standart z değerleri için olasılıkları gösteren bir tablodur. Bu tablo, herhangi bir z değeri için normal dağılımın belirli bir bölgesindeki olasılıkları bulmayı sağlar. İstatistikte ve olasılık teorisinde, bu tablo çok önemlidir çünkü birçok problemde normal dağılım kullanılarak olasılık hesaplamaları yapılır.

Standart normal dağılım tablosunu kullanarak şu tür soruların yanıtlarını bulabiliriz:

– Bir veri noktası, ortalamadan ne kadar uzaktadır?

– Belirli bir aralıkta yer alan veri noktalarının olasılığı nedir?

– Bir popülasyondan rastgele seçilecek bir bireyin belirli bir aralıkta değer alması olasılığı nedir?

Örneğin, bir öğrenci grubunun sınav sonuçları normal dağılım gösteriyorsa, belirli bir puan aralığındaki öğrenci sayısını tahmin etmek için standart normal dağılım tablosu kullanılabilir.

Normal Dağılımın Uygulamadaki Önemi

Normal dağılım, doğada ve sosyal bilimlerde yaygın olarak gözlenen bir dağılım olduğu için istatistiksel analizlerde sıkça kullanılır. Aşağıdaki alanlarda normal dağılım önemli bir rol oynar:

1- Testler ve Ölçümler: Zekâ testleri, akademik sınavlar, fiziksel ölçümler gibi birçok test ve ölçüm sonuçları normal dağılım gösterir. Bu sayede bireylerin performansları, genel popülasyonla karşılaştırılabilir.

2- Kalite Kontrol: Üretim süreçlerinde, ürünlerin ağırlıkları, boyutları veya diğer özellikleri normal dağılım gösteriyorsa, kalite kontrol analizleri bu dağılıma dayalı olarak yapılabilir.

3- Finans ve Ekonomi: Borsa getirileri, gelir dağılımları ve diğer finansal veriler de genellikle normal dağılım gösterir. Risk analizi ve finansal modelleme gibi süreçlerde normal dağılım kullanılarak tahminler yapılır.

Sonuç

Normal dağılım, istatistiksel analizlerin temel taşlarından biridir. Veri setlerinin analiz edilmesinde, olasılıkların hesaplanmasında ve karar verme süreçlerinde önemli bir rol oynar. Normal dağılımın anlaşılması, istatistiksel problemlerin çözümünde büyük bir avantaj sağlar ve bu nedenle birçok uygulamada kritik bir öneme sahiptir.

Normal dağılım ve standart normal dağılım kavramlarını iyi anlamak, bu dağılımın özelliklerini bilmek ve z dönüşümünü kullanarak olasılık hesaplamalarını doğru bir şekilde yapmak, ileri istatistiksel analizlerin temelini oluşturur

Soru 1:

Ortalaması 75 ve standart sapması 7 olan bir dağılımda 80’e karşılık gelen z değeri nedir? (Çoktan Seçmeli)
A) 0,85
B) 0,71
C) -0,71
D) 0,65
E) -0,65

Cevap: B) 0,71

Açıklama: Z değeri, (80 – 75) / 7 = 0,71 olarak hesaplanır.

Soru 2:

Ortalaması 40 ve standart sapması 6 olan bir dağılımda 38’e karşılık gelen z değeri nedir? (Çoktan Seçmeli)
A) 0,33
B) -0,38
C) -0,33
D) -0,45
E) 0,38

Cevap: C) -0,33

Açıklama: Z değeri, (38 – 40) / 6 = -0,33 olarak hesaplanır.

Soru 3:

Normal eğrinin altında kalan toplam alan ……. dir. (Çoktan Seçmeli)
A) 1’dir
B) -0,5’dir
C) 0,5’dir
D) 0,75’dir
E) Değişmektedir

Cevap: A) 1’dir

Açıklama: Normal eğrinin altındaki toplam alan her zaman 1’dir.

Soru 4:

Normal eğri alanları tablosunda z =1,35’e karşılık gelen olasılık değeri aşağıdakilerden hangisidir? (Çoktan Seçmeli)
A) 0,3515
B) 0,4225
C) 0,4125
D) 0,4115
E) 0,4200

Cevap: D) 0,4115

Açıklama: Z = 1,35’e karşılık gelen olasılık değeri 0,4115’tir.

Soru 5:

Normal eğri alanları tablosunda, z= 2,40’a karşılık gelen olasılık değeri nedir? (Çoktan Seçmeli)
A) 0,4918
B) 0,4885
C) 0,4225
D) 0,4865
E) 0,4985

Cevap: A) 0,4918

Açıklama: Z = 2,40’a karşılık gelen olasılık değeri 0,4918’dir.

Soru 6:

Normal eğri alanları tablosuna göre, P(-1,25 ≤ z ≤ 1,20) olasılığı nedir? (Çoktan Seçmeli)
A) 0,7445
B) 0,7793
C) 0,7558
D) 0,7642
E) 0,7456

Cevap: B) 0,7793

Açıklama: Bu aralıktaki olasılık değeri 0,7793 olarak hesaplanır.

Soru 7:

Normal eğri alanları tablosuna göre P(-2,00 ≤ z ≤ 0) alanının olasılığı nedir? (Çoktan Seçmeli)
A) 0,4552
B) 0,4435
C) 0,4772
D) 0,4886
E) 0,4663

Cevap: C) 0,4772

Açıklama: Bu aralıktaki olasılık 0,4772’dir.

Soru 8:

Bir okulda öğrencilere bir deneme testi uygulanıyor. Ortalama puan 78 ve standart sapma 20 olduğuna göre, tesadüfen seçilecek bir öğrencinin 95’den fazla puan alması olasılığı nedir? (Çoktan Seçmeli)
A) 0,1977
B) 0,2125
C) 0,85
D) 0,3023
E) 0,8023

Cevap: A) 0,1977

Açıklama: Z = (95 – 78) / 20 = 0,85 ve tabloya göre bu olasılık 0,1977’dir.

Soru 9:

İstanbul – Konya arasındaki uçuş süresinin normal dağıldığı bilinmektedir. Daha önce yapılan gözlemler sonucunda ortalama uçuş süresi 2700 saniye ve standart sapma 300 saniye hesaplanmıştır. Buna göre, herhangi bir uçuş süresinin 3300 saniyeden fazla olması olasılığı nedir? (Çoktan Seçmeli)
A) 0,0554
B) 0,4772
C) 0,4335
D) 0,0228
E) 0,0115

Cevap: D) 0,0228

Açıklama: Z = (3300 – 2700) / 300 = 2,00 ve tabloya göre olasılık 0,0228’dir.

Soru 10:

Çimento üreten bir firmanın ürettiği çimento torbalarının ağırlıkları normal dağılıyor. Ortalama torba ağırlığı 50 kg ve standart sapma 0,5 kg hesaplanıyor. Torba ağırlığının 49 kg’dan az olması halinde çimento paketi ağırlık açısından kalitesiz olarak ayrılmaktadır. Gün içinde 1000 paket çimento üretildiğinde kaç paket çimentonun kalitesiz olduğu söylenebilir? (Çoktan Seçmeli)
A) 22,8
B) 47,72
C) 15,6
D) 18,7
E) 21,4

Cevap: A) 22,8

Açıklama: Z = (49 – 50) / 0,5 = -2 ve tabloya göre bu olasılık %2,28’dir. 1000 pakette 22,8 paket kalitesiz olur.