Temel Matematik 2024-2025 Final Soruları

1. Fonksiyonların Grafiksel Analizi ve Kümeler

Matematiksel analizde fonksiyon grafiklerini okumak temel bir beceridir. Bir fonksiyonun azalıştan artışa geçtiği dip noktasına yerel minimum, artıştan azalışa geçtiği tepe noktasına ise yerel maksimum denir.

[Image of local maximum and minimum on a curve]
Üstel fonksiyonlar (a^x) her zaman (0, 1) noktasından, logaritmik fonksiyonlar (\log_a x) ise (1, 0) noktasından geçer. Küme teorisinde ise, eleman sayısı sayılabilecek kadar olan gruplara (örneğin üç basamaklı tam sayılar) sonlu küme denir.

2. Limit, Süreklilik ve Belirsizlikler

Limit, bir değişkenin bir sayıya yaklaşırken fonksiyonun aldığı değeri inceler. Eğer bir noktada sağ ve sol limitler farklı ise fonksiyon o noktada sıçrama süreksizliğine sahiptir.\frac{0}{0} gibi belirsizlik durumlarında çarpanlara ayırma yöntemiyle sadeleştirme yapılarak limit değeri hesaplanır. Bir grafikte yolun kesintisiz devam ettiği her nokta fonksiyonun sürekli olduğu yerdir.

3. Türev ve Teğetin Eğimi

Türev, bir fonksiyonun anlık değişim oranını ifade eder. Geometrik olarak, bir fonksiyona belirli bir noktada çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Örneğin x^2 teriminin türevi 2x olarak hesaplanır. Üçüncü dereceden polinomlar genellikle grafikte bir “S” şekli çizer ve en fazla iki yerel ekstremum noktasına sahiptirler.

4. İntegral ve İşletme Uygulamaları

İntegral, türevin tersi işlemidir ve genellikle eğri altında kalan alanı hesaplamada kullanılır. İşletme matematiğinde, Marjinal Maliyetin (MC) integrali alınarak Toplam Maliyet (TC) fonksiyonu elde edilir. İntegral sonucuna eklenen sabit sayı (C), işletmenin Sabit Maliyetine (FC) karşılık gelir. \frac{1}{x} fonksiyonunun integrali ise doğal logaritma olan \ln(x) fonksiyonudur.

5. Cebirsel İşlemler ve Eşitsizlikler

Matematiksel problem çözümünde köklü sayıların sadeleştirilmesi ve mutlak değerli eşitsizliklerin açılması kritik adımlardır. |ax+b| < c formundaki bir eşitsizlik -c < ax+b < c şeklinde açılarak çözüm aralığı saptanır. Koordinat düzleminde birden fazla eşitsizliğin kesiştiği ortak bölge, sistemin çözüm kümesini oluşturur.

1.

Yukarıda verilen fonksiyon grafiğine göre aşağıdaki hangi noktada bir yerel minimum vardır?

A) C
B) B
C) D
D) E
E) A

Cevap : B) B

Açıklama : Yerel minimum noktası, bir fonksiyonun grafiğinde çukurluğun en dip yaptığı, yani azalıştan artışa geçtiği noktadır. Grafikte B noktası bir “çukur” dip noktasıdır ve yerel minimumu temsil eder. (D noktası ise bir tepe noktası olduğu için yerel maksimumdur).

2. Aşağıdaki doğrulardan hangisi y=(1/2)x-3 doğrusal fonksiyonunun grafiğidir?

A)
B)
C)
D)
E)

Cevap : C)

Açıklama :

3.

Yukarıda verilen grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine aittir?

A) f(x) = 3×
B) f(x) = 2×
C) f(x) = 2-×
D) f(x) = 4×
E) f(x) = 4-×

Cevap : C) f(x) = 2-×

Açıklama :

4. y=x²+x fonksiyonuna x=2’de çizilen teğetin eğimi kaçtır?

A) 3
B) 5
C) -3
D) 7
E) 2

Cevap : D) 7

Açıklama :

5.

Yukarıda grafiği verilen fonksiyon için sağ ve sol limit değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3-3
B) 1-3
C) 4-4
D) 4-3
E) 3-1

Cevap : D) 4-3

Açıklama : Grafikte x=2 noktasındaki kopmaya (sıçramaya) bakıldığında;
Sağdan yaklaşırken (x -> 2+) fonksiyonun 4 değerine (üstteki açık daire hizasına) yaklaştığı,
Soldan yaklaşırken (x -> 2-) fonksiyonun 3 değerine (alttaki çizgi hizasına) yaklaştığı görülmektedir.
Sırasıyla Sağ-Sol limitler: 4 ve 3’tür.

6.

 Yukarıda verilen sorunun cevabı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3
B) 2
C) -2
D) 5
E) 1

Cevap : B) 2

Açıklama : Limit x -> 1 için (x^2 – 1) / (x – 1) belirsizliği (0/0) vardır. Çarpanlara ayırma yapılır:
(x – 1)(x + 1) / (x – 1)
(x – 1)’ler sadeleşir, geriye (x + 1) kalır.
x yerine 1 yazıldığında sonuç: 1 + 1 = 2 olur.

7.

Yukarıdaki matematiksel işleminin sonucu kaçtır?

A) -1/3
B) 3
C) 0
D) -1
E) 1/3

Cevap : E) 1/3

Açıklama : Köklü sayıları düzenleyelim:
kök12 = 2kök3
kök27 = 3kök3
İşlem: (2kök3 – 1kök3) / 3kök3
= 1kök3 / 3kök3
kök3’ler sadeleşir, sonuç 1/3 kalır.

8. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonlu kümedir?

A) Tek doğal sayılar kümesi
B) Üç basamaklı tam sayılar kümesi
C) İrrasyonel sayılar kümesi
D) Rasyonel sayılar kümesi
E) Reel sayılar kümesi

Cevap : B) Üç basamaklı tam sayılar kümesi

Açıklama : Doğal, rasyonel, irrasyonel ve reel sayılar sonsuz sayıdadır. Ancak üç basamaklı tam sayılar (100’den 999’a kadar ve negatifleri) belirli bir adettedir (sonludur).

9.

Yukarıda verilen sıralı ikililer aşağıdaki hangi fonksiyonun noktaları olabilir?

A) y=5x
B) y=5x²
C) y=log x
D) y=x⁵
E) y=5×

Cevap : E) y=5×

Açıklama : Değerlere bakıldığında 5’in kuvvetleri olduğu görülür.
x=1 için 5^1 = 5
x=2 için 5^2 = 25
x=-1 için 5^(-1) = 1/5
Bu değerleri sağlayan fonksiyon y = 5×’tir.

10. Marjinal Maliyet fonksiyonu MC(q)=6q ve Sabit Maliyet FC=200 ise toplam maliyet fonksiyonu TC(q) hangisidir?

A) TC(q)=q²+200q
B) TC(q)=3q²+200
C) TC(q)=(q²/2)+100
D) TC(q)=3q+200
E) TC(q)=2q³+200q

Cevap : B) TC(q)=3q²+200

Açıklama : Toplam maliyet, marjinal maliyetin integralidir.
Integral(6q dq) = 3q² + C
Buradaki integrasyon sabiti C, sabit maliyete (FC) eşittir.
C = 200 olduğuna göre, TC(q) = 3q² + 200 olur.

11. Aşağıdakilerden hangisi 6m² + 13m – 5 ifadesinin bir çarpanıdır?

A) 2m+5
B) 3m-5
C) m-5
D) m+5
E) 2m-5

Cevap : A) 2m+5

Açıklama : İfadeyi çarpanlarına ayıralım:
6m² + 13m – 5 = (3m – 1)(2m + 5)
Çapraz çarpım kontrolü: (3m * 5) + (2m * -1) = 15m – 2m = 13m (ortayı veriyor).
Çarpanlardan biri (2m+5)’tir.

12.

Yukarıda üstel ve logaritmik fonksiyon grafikleri verilmiştir:
Buna göre r + s değeri kaçtır?

A) 3
B) 0
C) 1
D) -1
E) 2

Cevap : E) 2

Açıklama :
Üstel fonksiyonlar (a×) y eksenini her zaman (0, 1) noktasında keser. Yani r = 1.
Logaritmik fonksiyonlar (log_a x) x eksenini her zaman (1, 0) noktasında keser. Yani s = 1.
r + s = 1 + 1 = 2 bulunur.

13.

Yukarıda verilen belirli İntegralin sonucu kaçtır?

A) 2
B) -2
C) 0
D) e
E) e²

Cevap : A) 2

Açıklama : 1/x’in integrali ln(x)’tir.
Belirli integral sınırlarını yerine koyarsak: ln(e²) – ln(1)
ln(e²) = 2 (üssü başa alırsak)
ln(1) = 0
Sonuç: 2 – 0 = 2.

14.

Yukarıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm aralığı harf veya harfler şeklinde aşağıdakilerden hangisidir?

A) B ve C
B) D
C) C
D) B
E) A

Cevap : C) C

Açıklama :
x <= 2 (x’in 2’den küçük olduğu sol taraf)
y <= 2 (y’nin 2’den küçük olduğu alt taraf)
Her ikisinin kesiştiği bölge, koordinat sisteminde sol alt tarafta kalan C bölgesidir (veya 3. bölgeyi de kapsayan alan).

15.

Yukarıda bir parçalı fonksiyon grafiği görülmektedir. Bu fonksiyon aşağıdaki apsis değerlerinin hangisinde süreklidir?

A) x=2
B) x=4
C) x=1
D) x=3
E) x=0

Cevap : D) x=3

Açıklama :

16. ∫ 2×.ln 2. dχ

Yukarıda verilen integral işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1+c
B) x.2×+c
C) 2×+¹+c
D) 2×+c
E) ln(x)+c

Cevap : D) 2×+c

Açıklama :

17. |2x+1| < 7
Yukarıda verilen denklemin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) [-4,3]
B) ( – ∞, -4) ∪ (3,∞)
C) (-4,3]
D) [-4,3)
E) (-4,3)

Cevap : E) (-4,3)

Açıklama : Mutlak değer eşitsizliği açılırsa:
-7 < 2x + 1 < 7
Her taraftan 1 çıkaralım: -8 < 2x < 6
Her tarafı 2’ye bölelim: -4 < x < 3
Çözüm aralığı (-4, 3) açık aralığıdır.

18.

Yukarıda grafiği verilen fonksiyon kaçıncı dereceden polinom fonksiyondur?

A) İkinci dereceden polinom fonksiyon
B) Sıfırıncı dereceden polinom fonksiyon
C) Üçüncü dereceden polinom fonksiyon
D) Dördüncü dereceden polinom fonksiyon
E) Birinci dereceden polinom fonksiyon

Cevap : C) Üçüncü dereceden polinom fonksiyon

Açıklama :

19. f(x) = x² -x+3 fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisiidir?

A) 2x-1
B) 3
C) x-1
D) 2x
E) 2x-3

Cevap : A) 2x-1

Açıklama :

20.

Yukarıdaki grafikte verilen fonksiyonun tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-4, 4)
B) (-5, 4)
C) (-4, 5)
D) (-5, 3)
E) (0, 4)

Cevap : A) (-4, 4)

Açıklama : Grafiğin x ekseni üzerindeki izdüşümüne bakıldığında, en sol noktanın apsisinin -4, en sağ noktanın apsisinin 4 olduğu görülmektedir. Dolayısıyla fonksiyon -4 ile 4 aralığında tanımlıdır.