Modern Mantık 2024 Üç Ders Sınav Soruları

Giriş

Modern mantık, argümanların yapısını ve doğru düşünmenin ilkelerini sembolik ve yapay diller kullanarak inceleyen bir disiplindir. Geleneksel kıyas mantığının önermeleri nicelik (tümel, tikel) ve nitelik (olumlu, olumsuz) bakımından ele almasının ötesine geçerek, mantık bilimi sayesinde doğru düşüncenin “denetlenebilirlik” sınırlarını genişletmiştir. Bu makalede, modern mantığın iki ana dalı olan önermeler mantığı ve niceleme mantığının temel kavramları ve yöntemleri incelenecektir.

Önermeler Mantığı

Önermeler mantığı, basit önermelerin “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi eklemlerle birleşerek oluşturduğu bileşik önermelerin doğruluk değerlerini inceler. Bu alanda temel eş değerlikler büyük önem taşır. Örneğin, “(A ↔ B)” ifadesi, “(A → B) Λ (B → A)” ifadesine denktir. Bir diğer önemli kural ise “(p → q)” ifadesinin “(p’ ∨ q)” ifadesine özdeş olmasıdır. De Morgan kurallarından biri olan “∼(A ∨ B) = (A’ ∧ B’)” bilinirken, “∼(A ∧ B) = (A ∨ B’)” gibi bir ifade ise yanlış bir eş değerliktir.

Önermelerin geçerliliğini ve tutarlılığını denetlemek için çeşitli yöntemler kullanılır. Bir önermenin doğruluk tablosunda en az bir “Doğru” ve en az bir “Yanlış” yorumu varsa, o önerme “tutarlı” ama “geçersizdir”. Eğer bir önermenin tam normal biçimi hiçbir bileşen içermiyorsa, bu önerme hiçbir durumda doğru olamayacağı için hem “geçersiz” hem de “tutarsızdır”. Quine yöntemi, doğruluk tablosuna alternatif bir denetleme yoludur. Çok değerli mantık sistemlerinde ise, klasik mantıktaki ikili (doğru/yanlış) değerlerin yerini üç veya daha fazla değer alır; örneğin üç değerli bir mantıkta “(B V B) = Y” ifadesi yanlıştır, sonucun B (Belirsiz) olması gerekir. Sembolik gösterimde ise, Polonya notasyonu gibi farklı sistemler de vardır; örneğin “∼(p ↔ ∼q)” ifadesi bu notasyonda “NEpNq” olarak yazılır.

Niceleme Mantığı

Niceleme mantığı, “bütün” (∀) ve “bazı” (∃) niceleyicilerini kullanarak önermelerin iç yapısını inceler. “Bütün kediler güzeldir.” gibi bir önermenin doğru sembolleştirilmesi “∀x (Kx → Gx)” şeklindedir. Niceleyicilerin belirli bir evrendeki açılımları da önemlidir; örneğin “∃zGz” ifadesinin {a, b, c} evrenindeki açılımı “Ga ∨ Gb ∨ Gc” olur. Bu mantıkta da temel eş değerlik kuralları vardır. Örneğin, “~∃xFx” (Fx olan bir x yoktur) ifadesi, “∀x~Fx” (Bütün x’ler Fx değildir) ifadesine denktir. Benzer şekilde, “~∀xFx” (Bütün x’ler Fx’tir ifadesi doğru değildir) ifadesi de “∃x~Fx” (Fx olmayan en az bir x vardır) ifadesine denktir.

Diğer Mantık Sistemleri

Klasik mantığın ötesinde, farklı amaçlar için geliştirilmiş başka mantık sistemleri de bulunur. “Modal mantık”, önermelerin kipliklerini inceler ve “Zorunlu”, “Mümkün”, “İmkânsız” ve “Olumsal” gibi modalitelerle çalışır; “Pozitif” ise bu modalitelerden biri değildir.

Sonuç

Modern mantık, felsefeden bilgisayar bilimlerine kadar geniş bir alanda kullanılan güçlü bir analitik araçtır. Önermelerin doğruluk değerlerini hesaplamaktan, niceleyicilerin eş değerliklerini kurmaya ve çıkarımların geçerliliğini “saçmaya indirgeme” gibi yöntemlerle denetlemeye kadar, modern mantık, akıl yürütmenin yapısını ve sınırlarını anlamamız için vazgeçilmez bir çerçeve sunar.

1. “Niceleyicinin eş değerliği” kurallarına göre aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) ∃xFx = ∀xFx
B) ~∃xFx = ∀xFx
C) ∃xFx = ∀x~Fx
D) ~∃xFx = ∀x~Fx
E) ∃x~Fx = ∀x~Fx

Cevap : D) ~∃xFx = ∀x~Fx

Açıklama : Niceleme mantığında, bir tikel niceleyicinin (∃) değillemesi, tümel niceleyicinin (∀) önüne alınarak önermenin içinin değillenmesine eş değerdir. Yani, “Fx olan bir x yoktur” ifadesi, “Bütün x’ler için, Fx değildir” ifadesiyle aynı anlama gelir.

2. Çok değerli mantık kuralları göz önünde bulundurulduğunda aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) “p veya q” gibi bir ifadede tarafların ikisi de 0 değerini almışsa sonuç 1 olur.
B) “p veya q” gibi bir ifadede tarafların ikisi de 1 değerini almışsa sonuç 1 olur.
C) “p ve q” gibi bir ifadede tarafların ikisi de 0 değerini almışsa sonuç 1 olur.
D) “p ve q” gibi bir ifadede taraflardan en az birisi 1 değerini almışsa sonuç kesinlikle 1 olur.
E) “p ve q” gibi bir ifadede tarafların ikisi de 1 değerini almışsa sonuç 0 olur.

Cevap : B) “p veya q” gibi bir ifadede tarafların ikisi de 1 değerini almışsa sonuç 1 olur.

Açıklama : Klasik mantıkta “veya” (∨) bağlacının doğruluk kuralına göre, önermelerden en az birinin doğru (1) olması sonucun doğru (1) olması için yeterlidir. Dolayısıyla her ikisi de doğru (1) ise sonuç kesinlikle doğrudur (1).

3. Aşağıdakilerden hangisi [(∼q→ p)↔(r→∼p)] ifadesinin Quine yöntemiyle çözümü sırasındaki aşamalardan biridir?

A) [(∼q→ Y)↔(r→∼D)]
B) [(∼q→ p)↔(D→∼p)]
C) [(∼q→ Y)↔(r→Y)]
D) [(∼q→ D)↔(r→∼Y)]
E) [(∼q→ D)↔(r→D)]

Cevap : B) [(∼q→ p)↔(D→∼p)]

Açıklama :

4. (p V q) gibi bir ifadede D: Doğru, Y: Yanlış, B: Belirsiz değerlerini gösterdiğinde aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) (B V B) = Y
B) (Y V Y) = Y
C) (Y V B) = B
D) (D V D) = D
E) (D V B) = D

Cevap : A) (B V B) = Y

Açıklama : Üç değerli mantıkta “veya” (V) işlemi, en doğru değeri sonuç olarak alır. (D > B > Y). (B V B) işleminin sonucu Belirsiz (B) olmalıdır, Yanlış (Y) değil.

5. ∃zGz ifadesinin (a, b, c) evrenindeki açılımı aşağıdakilerden hangisidir?

A) Ga ∧ Gb ∨ Gc
B) Ga ∧ Gb ∧ Gc
C) Ga → Gb → Gc
D) Ga ∨ Gb ∧ Gc
E) Ga ∨ Gb ∨ Gc

Cevap : E) Ga ∨ Gb ∨ Gc

Açıklama : Tikel niceleyici (∃), mantıksal olarak “veya” (∨) işlemine karşılık gelir. Dolayısıyla “En az bir z, G’dir” ifadesinin (a, b, c) evrenindeki açılımı “Ga veya Gb veya Gc” şeklinde olur.

6. Aşağıdaki eş değerliklerden hangisi doğrudur?

A) (A ↔ B) = (A → B’) Λ (B’ → A)
B) (A ↔ B) = (A → B’) Λ (B → A’)
C) (A ↔ B) = (A’ → B) Λ (B → A’)
D) (A ↔ B) = (A’ → B) Λ (B’ → A)
E) (A ↔ B) = (A → B) Λ (B → A)

Cevap : E) (A ↔ B) = (A → B) Λ (B → A)

Açıklama : Karşılıklı koşul (↔) (ancak ve ancak) ekleminin tanımı gereği, (A ↔ B) ifadesi, (A ise B) ve (B ise A) ifadelerinin birlikte doğru olmasına eş değerdir.

7. Bir çıkarımın saçmaya indirgeme yöntemi ile denetlenirken daha ilk işlemde “yanlış” olabildiği tespit edilmişse ilgili çıkarım için aşağıdakilerden hangisi kesin olarak söylenebilir?

A) Geçerli
B) Tutarlı
C) Eş değer
D) Geçersiz
E) Tutarsız

Cevap : D) Geçersiz

Açıklama :

8. “Bütün kediler güzeldir.” önermesinin niceleme mantığındaki gösterimi, sembolleştirmeye ilişkin uygulama kuralları da dikkate alındığında aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

A) ∀x (∼Kx → Gx)
B) ∀x (Kx → Gx)
C) ∼∀x (∼Kx → ∼Gx)
D) ∼∀x (Kx → Gx)
E) ∀x (Kx → ∼Gx)

Cevap : B) ∀x (Kx → Gx)

Açıklama : Bu önerme, tümel bir iddiadır ve “Her x için, eğer x bir kedi ise, o zaman x güzeldir” şeklinde ifade edilir. Bunun sembolik mantıktaki karşılığı ∀x (Kx → Gx) şeklindedir.

9. Aşağıdakilerden hangisi [(p↔ ∼r)∨(p →r)]→[ r∧(∼ p↔q)] ifadesinin Quine yöntemiyle çözümü sırasındaki aşamalardan biridir?

A) [(Y↔ ∼r)∨(D →r)]→[ q]
B) [(Y↔ ∼r)∨(D →r)]→[ r∧(D↔q)]
C) [(Y↔ ∼r)∨(Y →r)]→[ r∧(Y↔q)]
D) [(D↔ ∼r)∨(D →r)]→[r∧(D↔q)]
E) [(Y↔ ∼r)∨(Y →r)]→[ r∧(D↔q)]

Cevap : E) [(Y↔ ∼r)∨(Y →r)]→[ r∧(D↔q)]

Açıklama : Quine yönteminde p=Y (yanlış) değeri atandığında, ifadedeki tüm ‘p’ler ‘Y’ ve ‘∼p’ler ‘D’ (doğru) olur. E şıkkı, bu ilk değer atama adımını doğru bir şekilde göstermektedir.

10. Tam normal biçime indirgeme işleminin neticesi, sekiz farklı bileşenin hiçbirini içermiyorsa ilgili önerme için aşağıdakilerden hangisi söylenir?

A) Denk-Tutarsız
B) Geçerli-Tutarlı
C) Geçersiz-Tutarsız
D) Geçerli-Tutarsız
E) Geçersiz-Tutarlı

Cevap : C) Geçersiz-Tutarsız

Açıklama : Bir önermenin tam ayrık normal biçimi (DNF), o önermeyi doğru yapan tüm durumları gösterir. Eğer bu biçim boşsa (hiçbir bileşen içermiyorsa), önermenin doğru olduğu hiçbir durum yoktur. Her zaman yanlış olan bir önerme hem tutarsızdır (contradiction) hem de geçersizdir.

11. ((p → q) ∨ r) ile ((p’ ∨ q) ∨ r) ifadeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Belirsiz
B) Özdeş değil
C) Özdeş
D) Tutarlı
E) Tutarlı değil

Cevap : C) Özdeş

Açıklama : Koşul (→) ekleminin temel eş değerlik kuralına göre (p → q) ifadesi (~p ∨ q) ifadesine denktir. Soruda p’ kullanılmıştır, bu da ~p demektir. Dolayısıyla, (p → q) ile (p’ ∨ q) ifadeleri birbirine denktir (özdeştir).

12. Aşağıdakilerden hangisi [ (q ↔ ∼q)∨(p →q)]→q ifadesinin Quine yöntemiyle çözümü sırasındaki aşamalardan biridir?

A) [ (Y ↔ ∼q)∨(D →Y)]→Y
B) [ (D ↔ ∼Y)∨(Y →Y)]→D
C) [ (D ↔ Y)∨(p →D)]→Y
D) [ (Y ↔ D)∨(p →Y)]→Y
E) [ (Y ↔ Y)∨(D →q)]→q

Cevap : D) [ (Y ↔ D)∨(p →Y)]→Y

Açıklama : Quine yönteminde q=Y değeri verildiğinde ifadedeki tüm ‘q’lar ‘Y’, ‘∼q’lar ise ‘D’ olur. Bu durumda [ (Y ↔ ∼Y)∨(p →Y)]→Y ifadesi [ (Y ↔ D)∨(p →Y)]→Y haline gelir. D şıkkı bu aşamayı doğru göstermektedir.

13. Aşağıdakilerden hangisi modaliteler kapsamında ele alınmaz?

A) İmkânsız
B) Pozitif
C) Olumsal
D) Mümkün
E) Zorunlu

Cevap : B) Pozitif

Açıklama : Modal mantık, önermelerin kipliklerini (modalitelerini) inceler. Temel modaliteler Zorunlu, Mümkün, İmkânsız ve Olumsal (zorunlu olmayan ve imkansız olmayan) şeklindedir. “Pozitif” bir mantıksal modalite değildir.

14. Aşağıdaki eş değerliklerden hangisi yanlıştır?

A) ∼(A ∧ B) = (A ∨ B’)
B) ∼(A → B) = AB’
C) (A → B) = (A’ ∨ B)
D) (A ↔ B) = (AB ∨ A’B’)
E) ∼(A ∨ B) = (A’ ∧ B’)

Cevap : A) ∼(A ∧ B) = (A ∨ B’)

Açıklama : De Morgan kuralına göre ∼(A ∧ B) ifadesinin eş değeri (A’ ∨ B’) olmalıdır. Şıkta A’nın değili alınmamıştır, bu nedenle ifade yanlıştır.

15. (q ↔ ∼q)∨(p →q) ifadesinin doğruluk değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

A) Y, Y, D, Y
B) Y, D, D, D
C) D, D, D, Y
D) D, Y, Y, D
E) D, Y, D, D

Cevap : E) D, Y, D, D

Açıklama : Doğruluk tablosu yapıldığında (p,q): (D,D) için sonuç D; (D,Y) için sonuç Y; (Y,D) için sonuç D; (Y,Y) için sonuç D çıkar. Sıralama D, Y, D, D şeklindedir.

16. “Sonuçta mantık bilimi sayesinde yeni yapay diller kullanarak doğru düşüncenin ….. sınırları da genişletilecektir.”
Yukarıdaki boşluğu dolduracak en uygun ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) betimlenebilirlik
B) iletişim
C) denetlenebilirlik
D) ifade
E) sezgisellik

Cevap : C) denetlenebilirlik

Açıklama : Modern mantığın sembolik ve yapay dilleri, düşüncenin ve argümanların doğruluğunun ve geçerliliğinin daha kesin ve objektif bir şekilde kontrol edilmesini, yani “denetlenebilirliğini” sağlar.

17. ∼(p ↔ ∼q) ifadesi Lukasiewicz­-Tarski notasyonuna göre nasıl yazılmalıdır?

A) NEpNq
B) EpNq
C) NpNq
D) pNq
E) NEpq

Cevap : A) NEpNq

Açıklama : Polonya notasyonunda N: değil (∼), E: ancak ve ancak (↔) anlamına gelir. Önce iç ifade yazılır: ∼q = Nq. Sonra p ↔ ∼q = EpNq. En son ifadenin tamamının değili alınır: ∼(…) = N…. Bu durumda ifade NEpNq olur.

18. Aşağıdaki eş değerliklerden hangisi doğrudur?

A) ∼∀xFx = ∃x∼Fx
B) ∀xFx = ∃xFx
C) ∼∼∀xFx = ∃xFx
D) ∼∀xFx = ∃x∼∼Fx
E) ∀xFx = ∼∃xFx

Cevap : A) ∼∀xFx = ∃x∼Fx

Açıklama : Bu, niceleyicilerin temel eş değerlik kurallarından biridir. “Bütün x’ler Fx’tir ifadesi doğru değildir” demek, mantıksal olarak “En az bir x vardır ki, o x Fx değildir” demekle aynıdır.

19. Aşağıdakilerden hangisi bir önermenin kıyasta ele alınış tarzlarından biri değildir?

A) Tümel
B) Tikel
C) Tüzel
D) Olumsuz
E) Olumlu

Cevap : C) Tüzel

Açıklama : Klasik mantıkta (kıyas) önermeler nicelik (tümel, tikel) ve nitelik (olumlu, olumsuz) bakımından sınıflandırılır. “Tüzel” ise mantıksal bir kategori değil, bir hukuk terimidir.

20. I. Tutarlıdır.
II. Geçerlidir.
III. Geçersizdir.
(q ↔ ∼q)∨(p →q) ifadesi için yukarıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur?

A) Yalnız II
B) I ve II
C) Yalnız I
D) I ve III
E) Yalnız III

Cevap : D) I ve III

Açıklama : 15. soruda yapılan doğruluk tablosuna göre bu ifadenin sonucu (D, Y, D, D) şeklindedir. En az bir “D” (Doğru) yorumu olduğu için ifade tutarlıdır (I doğru). Ancak bütün yorumları “D” olmadığı için geçerli (totoloji) değildir (II yanlış), dolayısıyla geçersizdir (III doğru).