Temel Matematik

Fonksiyonlar, Kümeler ve Sayılar

Temel matematikte **kümeler**, belirli bir özelliği sağlayan elemanların toplanmasıyla oluşur. Örneğin, A = {x | 2 ≤ x < 5, x ∈ N} kümesi, 2’ye eşit veya büyük, 5’ten küçük olan doğal sayıları içerir. Bu durumda A kümesi {2, 3, 4} elemanlarından oluşur.

**Sayı sistemleri** önemlidir. Reel sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılardan oluşur. Rasyonel sayılar a/b şeklinde yazılabilir. İrrasyonel olmayan bir sayı, rasyonel bir sayıdır. Örneğin, √4 = 2 olduğu için rasyoneldir; ancak π, e, √3 gibi sayılar irrasyoneldir.

Basit **eşitsizlikler** de önemlidir. Eğer x < 0 (negatif) ve y > 0 (pozitif) ise, x - y işlemi (Negatif – Pozitif) her zaman negatif bir sonuç verecektir (x - y < 0).

Fonksiyon Grafikleri ve Özellikleri

Bir grafiğin **fonksiyon** olup olmadığını anlamak için “Dikey Çizgi Testi” kullanılır. Bir dikey çizgi, grafiği birden fazla noktada kesiyorsa (örn: çember veya yana yatık S eğrisi), o grafik bir fonksiyon değildir. Bir parabol veya düz bir doğru ise fonksiyondur.

Fonksiyonların **tersi**nin (inverse) olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir: Fonksiyon **birebir** (one-to-one) ve **örten** (onto) olmalıdır.

Polinom fonksiyonların derecesi, grafiğindeki “dönüm noktası” (tepe veya dip) sayısıyla ilişkilidir. n. dereceden bir polinomun en fazla (n-1) dönüm noktası olabilir. Grafikte 2 dönüm noktası varsa, bu en az 3. dereceden bir polinomdur.

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel fonksiyonlar y = ax formundadır. Örneğin, y = 5x fonksiyonu (0, 1), (1, 5) ve (-1, 1/5) noktalarından geçer. y = 2-x (veya y = (1/2)x) fonksiyonu ise (0, 1), (-1, 2) ve (-2, 4) noktalarından geçen, azalan bir grafiğe sahiptir. e(ln x) ifadesi, e ve ln birbirinin tersi olduğu için doğrudan x‘e eşittir.

Limit, Süreklilik ve Türev (Kalkülüs)

Limit ve Süreklilik

Bir noktada **limit**in var olması için, o noktaya sağdan yaklaşırken (sağ limit) ve soldan yaklaşırken (sol limit) fonksiyonun aynı değere yaklaşması gerekir. Fonksiyonun o noktadaki değeri (dolu nokta) limit değerinden farklı olabilir (Bkz. Soru 3, x=2). Eğer sağ ve sol limitler farklıysa (sıçrama varsa), o noktada limit **mevcut değildir**.

Bir fonksiyondaki “sıçrama” veya “boşluk” olan noktalar **süreksiz** noktalardır. (-6, 5) aralığındaki grafikte (Soru 10), x=-4, x=2 ve x=4 noktalarında sıçramalar olduğu için 3 noktada süreksizlik vardır.

Türev (Ekstremum Noktaları)

Bir fonksiyonun (f(x)) tepe veya dip (ekstremum/tepe) noktaları, o fonksiyonun **türevinin (f'(x)) sıfır olduğu** yerlerdir. Eğer bize türevin grafiği (f'(x)) verilirse (Soru 16), f(x)’in tepe noktalarını bulmak için grafiğin x-eksenini kestiği noktalara (A, E, D) bakmamız gerekir.

Eğer bize f(x)’in grafiği verilirse (Soru 20), tepe noktaları grafikteki “tepeler” ve “dipler”dir (B ve D noktaları).

f(x) = e^{(ln x)} fonksiyonunun türevi sorulduğunda (Soru 12), önce f(x) = x olarak sadeleştirilir ve türevi 1 olarak bulunur.

İntegral (Alan Hesabı ve Ters Türev)

Belirsiz İntegral, türevin tersi işlemidir. (2^x)’in türevi (2^x * ln(2)) olduğundan, ∫ 2x * ln(2) dx işleminin sonucu 2x + c‘dir.

(1/x)’in integrali ln(x)‘tir. ∫1e² (dx/x) belirli integrali, [ln(x)] fonksiyonuna 1 ve e² sınırları uygulanarak ln(e²) - ln(1) = 2 - 0 = 2 olarak bulunur.

Belirli İntegral, aynı zamanda eğrinin altında kalan alanı temsil eder. ∫24 f(x) dx (Soru 4) işlemi, x=2’den x=4’e kadar grafiğin altında kalan alanın (bu durumda 3 birimkare) hesaplanmasıdır.

Temel Matematik 2023-2024 Vize Soruları

1. A = {x | 2 ≤ x < 5, x ∈ N}
Yukarıda özellik vererek tarif edilmiş küme aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) {}
B) {3,4}
C) {2,3,4}
D) {1, 2, 3, 4}
E) {3,4,5}

Cevap : C) {2,3,4}

Açıklama : Soruda N (Doğal Sayılar) kümesindeki x değerleri istenmektedir. Koşul “2’ye eşit veya 2’den büyük” (2 ≤ x) VE “5’ten küçük” (x < 5) olmasıdır.
Doğal sayılar kümesi N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} olarak kabul edildiğinde, her iki koşulu da sağlayan sayılar 2, 3 ve 4’tür. Bu nedenle küme {2,3,4}’tür.

2. ∫₁^e² (dx/x) = ?

Yukarıda verilen belirli integralin sonucu kaçtır?

A) 2
B) e²
C) -2
D) e
E) 0

Cevap : A) 2

Açıklama : (1/x)’in integrali ln|x|’tir.
Belirli integralin sınırlarını yerine koyarsak: [ln(x)]₁^e²
= ln(e²) – ln(1)
Logaritma kuralı gereği ln(e²) = 2 ve ln(1) = 0’dır.
= 2 – 0 = 2.

3.

Yukarıda verilen grafikte hangi apsis değerleri için limit mevcuttur?

A) Yalnız 4
B) 3 ve 4
C) Yalnız 3
D) 1, 3 ve 4
E) 1, 2 ve 3

Cevap : D) 1, 3 ve 4

Açıklama : Cevap anahtarında D olarak belirtilmiştir (1, 3 ve 4 ). PDF’te bu şekilde yer almaktadır.

4.

Yukarıda verilen fonksiyon grafiğine göre aşağıdaki integral işleminin sonucu kaçtır?
∫₂⁴ f(x) dx = ?

A) 5/2
B) 3/2
C) 3
D) 4
E) 5

Cevap : C) 3

Açıklama : Belirli integral, x=2’den x=4’e kadar eğrinin altında kalan alanı verir. Bu alanı iki yamuk (trapezoid) olarak hesaplayabiliriz:
Alan 1 (x=2’den 3’e): Alt taban=1, Üst taban=2, Yükseklik=1. Alan = ((1+2)/2) * 1 = 1.5
Alan 2 (x=3’ten 4’e): Alt taban=2, Üst taban=1, Yükseklik=1. Alan = ((2+1)/2) * 1 = 1.5
Toplam Alan (İntegral) = 1.5 + 1.5 = 3.
(Not: PDF anahtarındaki E şıkkının 3’e karşılık geldiği varsayılmıştır, şıklar A ve B olarak eksik verilmişti.)

5.

Yukarıda verilen sıralı ikililer aşağıdaki hangi fonksiyonun noktaları olabilir?

A) y = 5^x
B) y = log x
C) y = x⁵
D) y = 5x
E) y = 5x²

Cevap : A) y = 5^x

Açıklama : Bu bir üstel (exponential) fonksiyondur.
x = -2 için y = 5^-2 = 1/5² = 1/25.
x = 0 için y = 5⁰ = 1.
x = 2 için y = 5² = 25.
Tüm noktalar y = 5^x fonksiyonunu sağlamaktadır.

6. Aşağıda verilen grafiklerden hangisi veya hangileri iki boyutlu koordinat sisteminde bir fonksiyon belirtir?

A) 2 ve 3
B) Yalnız 1
C) 2 ve 4
D) 1 ve 2
E) 1 ve 4

Cevap : E) 1 ve 4

Açıklama : Bir grafiğin fonksiyon belirtmesi için “Dikey Çizgi Testi”ni geçmesi gerekir (Grafiğe çizilen dikey çizgilerin grafiği sadece bir noktada kesmesi gerekir).
(1) Parabol: Fonksiyondur.
(2) S-eğrisi: Fonksiyon değildir (dikey çizgi 3 noktada keser).
(3) Çember: Fonksiyon değildir (dikey çizgi 2 noktada keser).
(4) Doğru: Fonksiyondur.
Cevap 1 ve 4’tür .

7.

Yukarıda grafiği verilen fonksiyon kaçıncı dereceden polinom fonksiyondur?

A) İkinci dereceden polinom fonksiyon
B) Sıfırıncı dereceden polinom fonksiyon
C) Birinci dereceden polinom fonksiyon
D) Dördüncü dereceden polinom fonksiyon
E) Üçüncü dereceden polinom fonksiyon

Cevap : E) Üçüncü dereceden polinom fonksiyon

Açıklama : Grafikte 2 adet “dönüm noktası” (yerel tepe ve dip noktası) bulunmaktadır . ‘n’inci dereceden bir polinom fonksiyonun en fazla ‘n-1’ adet dönüm noktası olabilir. (n-1) = 2 ise, n = 3’tür. Bu, **üçüncü dereceden (kübik) bir polinom** grafiğidir.

8. Bir litre cam şişede hazırlanan sütler dörderli olarak paketlenip bayilere sevk edilmektedir. Şişe sütün maliyeti 11 TL olup 15 TL etiket fiyatı ile satışa sunulmaktadır.
Günde 1 ton süt sevkedildiğine ve elde edilen kar 3500 TL olduğuna göre şişeler için toplam paketleme maliyeti ne kadar olur?

A) 750 TL
B) 1250 TL
C) 500 TL
D) 1000 TL
E) 250 TL

Cevap : C) 500 TL

Açıklama : 1 ton süt = 1000 litre = 1000 şişe.
Şişe başına satış fiyatı = 15 TL .
Şişe başına süt maliyeti = 11 TL .
Şişe başına brüt kâr (paketleme hariç) = 15 – 11 = 4 TL.
Toplam brüt kâr = 1000 şişe * 4 TL/şişe = 4000 TL.
Gerçekleşen net kâr = 3500 TL .
Toplam Paketleme Maliyeti = Toplam Brüt Kâr – Toplam Net Kâr = 4000 TL – 3500 TL = 500 TL.

9.

Yukarıdaki grafikte verilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x + 4y = 2
B) x + 4y = -2
C) x + 2y = 0
D) x + y = 0
E) x – 2y = 0

Cevap : C) x + 2y = 0

Açıklama : Grafik, (0, 0) ve (-4, 2) noktalarından geçmektedir .
Eğim (m) = (Y₂ – Y₁) / (X₂ – X₁) = (2 – 0) / (-4 – 0) = 2 / -4 = -1/2.
Orijinden (0,0) geçtiği için denklemi y = mx şeklindedir.
y = (-1/2)x
2y = -x
x + 2y = 0 .

10. Yukarıda verilen grafiğe göre (-6, 5) aralığında fonksiyon kaç noktada süreksizdir?

A) 2 noktada
B) 5 noktada
C) 4 noktada
D) 1 noktada
E) 3 noktada

Cevap : E) 3 noktada

Açıklama : Süreksizlik, grafikte bir “kopma” veya “sıçrama” olan yerlerde meydana gelir.
1. x = -4 noktasında (sol limit 4, sağ limit -2) .
2. x = 2 noktasında (sol limit 5, sağ limit -1) .
3. x = 4 noktasında (sol limit 6, sağ limit 2) .
Grafikte toplam 3 noktada sıçrama süreksizliği vardır.

11.

∫ 2^x * ln(2) dx
Yukarıda verilen integral işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) x * 2^x + c
B) 2^x + c
C) ln x + c
D) 1 + c
E) 2^x+1 + c

Cevap : B) 2^x + c

Açıklama : Bu soru temel türev kuralının tersini sormaktadır. a^x (a sabit) fonksiyonunun türevi a^x * ln(a)’dır. Dolayısıyla (2^x)’in türevi (2^x * ln(2))’dir. İntegral, türevin tersi olduğuna göre, (2^x * ln(2))’nin integrali 2^x + c olur.

12. f(x) = e^{(ln x)} fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? (f'(x) = ?)

A) f'(x) = ln x
B) f'(x) = e^x
C) f'(x) = e^{(-ln x)}
D) f'(x) = (1/x) * e^{(ln x)}
E) f'(x) = x * e^{(ln x)}

Cevap : D) f'(x) = (1/x) * e^{(ln x)}

Açıklama : Bu soruyu iki yolla çözebiliriz:
1. (Sadeleştirme Yolu): `e` ve `ln` birbirinin ters fonksiyonudur. Bu nedenle `e<sup>(ln x)</sup>` ifadesi doğrudan `x`’e eşittir. Yani `f(x) = x`. Bu fonksiyonun türevi `f'(x) = 1`’dir.
2. (Şıkları İnceleme): Cevap anahtarı D şıkkıdır. D şıkkını sadeleştirirsek: `f'(x) = (1/x) * e<sup>(ln x)</sup>`. `e<sup>(ln x)</sup>` ifadesi `x`’e eşit olduğu için: `f'(x) = (1/x) * x = 1`.
Her iki durumda da sonuç 1’dir. Cevap anahtarındaki D şıkkı, doğru cevabın (1) sadeleştirilmemiş halidir.

13. Aşağıdaki reel sayılardan hangisi bir irrasyonel sayı değildir?

A) π sayısı
B) √4
C) √3
D) √8
E) e sayısı

Cevap : B) √4

Açıklama : İrrasyonel sayılar, ondalık kısmı devirsiz olarak sonsuza giden sayılardır (π, e, √3 gibi). Rasyonel sayılar ise a/b şeklinde yazılabilen sayılardır. **√4** = 2’dir. 2 sayısı 2/1 olarak yazılabildiği için rasyoneldir ve irrasyonel değildir.

14. P = 750 + 325 * (1,375)^t , t ≥ 0
Yukarıda bir hastanede bulunan hasta sayısının (P), t ‘ye bağlı fonksiyonu verilmektedir. Burada t ayları göstermektedir. t = 0 anında hastanede kaç hasta bulunmaktadır?

A) 325
B) 1325
C) 750
D) 1075
E) 1400

Cevap : D) 1075

Açıklama : t = 0 anındaki hasta sayısını bulmak için fonksiyonda t yerine 0 yazarız:
P = 750 + 325 * (1,375)⁰
Herhangi bir sayının 0’ıncı kuvveti 1’dir ((1,375)⁰ = 1).
P = 750 + 325 * 1
P = 750 + 325 = 1075 .

15. x, y ∈ R ve x < 0 < y olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) x – y < 0
B) x + y < 0
C) (x * y) > 0
D) (x / y) > 0
E) x + y > 0

Cevap : A) x – y < 0

Açıklama : x negatif bir sayıdır (örn: -3). y pozitif bir sayıdır (örn: 5).
A) x – y = (Negatif Sayı) – (Pozitif Sayı) = (-3) – (5) = -8. Sonuç her zaman negatiftir (0’dan küçüktür). **Bu kesinlikle doğrudur.**
B) x + y = (-3) + (5) = 2. (0’dan küçük değil).
C) x * y = (-3) * (5) = -15. (0’dan büyük değil).
D) x / y = (-3) / (5) = -0.6. (0’dan büyük değil).
E) x + y = (-10) + (2) = -8. (0’dan büyük değil).

16.

Yukarıda bir fonksiyonun türevine ilişkin grafik (f'(x)) verilmiştir. Buna göre hangi nokta ya da noktalarda fonksiyon (f(x)) tepe noktalarına sahiptir?

A) A, E ve D
B) Yalnız C
C) A, B ve C
D) Yalnız B
E) A ve D

Cevap : A) A, E ve D

Açıklama : Bir f(x) fonksiyonunun tepe (ekstremum) noktaları, türevinin (f'(x)) sıfır olduğu yerlerdir. Türev grafiğinde (f'(x)) sıfır olan yerler, grafiğin x-eksenini kestiği noktalardır. Bu noktalar **A, E ve D**’dir . (B ve C noktaları türevin tepe noktalarıdır, f(x)’in değil.)

17.

Yukarıda verilen grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine aittir?

A) f(x) = 2^x
B) f(x) = 4^x
C) f(x) = 2^-x
D) f(x) = 3x
E) f(x) = 4^-x

Cevap : C) f(x) = 2^-x

Açıklama : Cevap anahtarında C olarak belirtilmiştir (PDF’teki metin `f(x)=2` olarak hatalı yazılmış olsa da, kastedilen C şıkkı budur). Grafiği kontrol edelim: Bu bir üstel azalma grafiğidir.
x=0 için y=1 olmalı. (Hepsi sağlar, D hariç)
x=-1 için y=2 olmalı. Test C: f(-1) = 2^-(-1) = 2¹ = 2. (Sağladı)
x=-2 için y=4 olmalı. Test C: f(-2) = 2^-(-2) = 2² = 4. (Sağladı)
Doğru cevap f(x) = 2^-x‘tir.

18. Bir fonksiyonun tersi olabilmesi için yukarıdaki şartlardan hangisi veya hangileri sağlanmalıdır?
I. Fonksiyon birebir olmalıdır.
II. Fonksiyon örten olmalıdır.
III. İçine fonksiyon olmalıdır.

A) Yalnız I
B) II ve III
C) Yalnız III
D) I ve II
E) I ve III

Cevap : D) I ve II

Açıklama : Bir fonksiyonun tersinin de bir fonksiyon olabilmesi (tersi alınabilmesi) için o fonksiyonun hem **birebir (one-to-one)** hem de **örten (onto)** olması gerekir.

19.

Yukarıda verilen parçalı fonksiyon için, lim_x→1 f(x) = ?

f(x) = { x² (x < 1)
     { x/2 (x ≥ 1)

A) 1/2
B) Limit mevcut değildir.
C) 1
D) 2
E) 0

Cevap : B) Limit mevcut değildir.

Açıklama : x=1 noktasındaki limit için sağdan ve soldan limitlere bakılır:
Sol Limit (x, 1’den küçük değerlerle yaklaşır): f(x) = x² kullanılır. Lim(x→1⁻) x² = 1² = 1.
Sağ Limit (x, 1’den büyük değerlerle yaklaşır): f(x) = x/2 kullanılır. Lim(x→1⁺) x/2 = 1/2.
Sol Limit (1) ve Sağ Limit (1/2) birbirine eşit olmadığı için x=1 noktasında limit **mevcut değildir** .

20.

Yukarıda verilen fonksiyon grafiğine göre hangi noktalarda f(x) tepe noktalarına sahiptir?

A) Yalnız D
B) B, D ve E
C) B ve E
D) A ve C
E) A, C ve D

Cevap : B) B, D ve E

Açıklama : Cevap anahtarında B olarak belirtilmiştir (B, D ve E ). PDF’te bu şekilde yer almaktadır.