Temel Matematik

Fonksiyonlar, Kümeler ve Sayılar

Temel matematikte **kümeler**, belirli bir özelliği sağlayan elemanların toplanmasıyla oluşur. Örneğin, A = {x | 2 ≤ x < 5, x ∈ N} kümesi, 2’ye eşit veya büyük, 5’ten küçük olan doğal sayıları içerir. Bu durumda A kümesi {2, 3, 4} elemanlarından oluşur.

**Sayı sistemleri** önemlidir. Reel sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılardan oluşur. Rasyonel sayılar a/b şeklinde yazılabilir. İrrasyonel olmayan bir sayı, rasyonel bir sayıdır. Örneğin, √4 = 2 olduğu için rasyoneldir; ancak π, e, √3 gibi sayılar irrasyoneldir.

Basit **eşitsizlikler** de önemlidir. Eğer x < 0 (negatif) ve y > 0 (pozitif) ise, x – y işlemi (Negatif – Pozitif) her zaman negatif bir sonuç verecektir (x – y < 0).

Fonksiyon Grafikleri ve Özellikleri

Bir grafiğin **fonksiyon** olup olmadığını anlamak için “Dikey Çizgi Testi” kullanılır. Bir dikey çizgi, grafiği birden fazla noktada kesiyorsa (örn: çember veya yana yatık S eğrisi), o grafik bir fonksiyon değildir. Bir parabol veya düz bir doğru ise fonksiyondur.

Fonksiyonların **tersi**nin (inverse) olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir: Fonksiyon **birebir** (one-to-one) ve **örten** (onto) olmalıdır.

Polinom fonksiyonların derecesi, grafiğindeki “dönüm noktası” (tepe veya dip) sayısıyla ilişkilidir. n. dereceden bir polinomun en fazla (n-1) dönüm noktası olabilir. Grafikte 2 dönüm noktası varsa, bu en az 3. dereceden bir polinomdur.

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel fonksiyonlar y = ax formundadır. Örneğin, y = 5x fonksiyonu (0, 1), (1, 5) ve (-1, 1/5) noktalarından geçer. y = 2-x (veya y = (1/2)x) fonksiyonu ise (0, 1), (-1, 2) ve (-2, 4) noktalarından geçen, azalan bir grafiğe sahiptir. e(ln x) ifadesi, e ve ln birbirinin tersi olduğu için doğrudan x’e eşittir.

Limit, Süreklilik ve Türev (Kalkülüs)

Limit ve Süreklilik

Bir noktada **limit**in var olması için, o noktaya sağdan yaklaşırken (sağ limit) ve soldan yaklaşırken (sol limit) fonksiyonun aynı değere yaklaşması gerekir. Fonksiyonun o noktadaki değeri (dolu nokta) limit değerinden farklı olabilir (Bkz. Soru 3, x=2). Eğer sağ ve sol limitler farklıysa (sıçrama varsa), o noktada limit **mevcut değildir**.

Bir fonksiyondaki “sıçrama” veya “boşluk” olan noktalar **süreksiz** noktalardır. (-6, 5) aralığındaki grafikte (Soru 10), x=-4, x=2 ve x=4 noktalarında sıçramalar olduğu için 3 noktada süreksizlik vardır.

Türev (Ekstremum Noktaları)

Bir fonksiyonun (f(x)) tepe veya dip (ekstremum/tepe) noktaları, o fonksiyonun **türevinin (f'(x)) sıfır olduğu** yerlerdir. Eğer bize türevin grafiği (f'(x)) verilirse (Soru 16), f(x)’in tepe noktalarını bulmak için grafiğin x-eksenini kestiği noktalara (A, E, D) bakmamız gerekir.

Eğer bize f(x)’in grafiği verilirse (Soru 20), tepe noktaları grafikteki “tepeler” ve “dipler”dir (B ve D noktaları).

f(x) = e(ln x) fonksiyonunun türevi sorulduğunda (Soru 12), önce f(x) = x olarak sadeleştirilir ve türevi 1 olarak bulunur.

İntegral (Alan Hesabı ve Ters Türev)

Belirsiz İntegral, türevin tersi işlemidir. (2x)’in türevi (2x * ln(2)) olduğundan, ∫ 2x * ln(2) dx işleminin sonucu 2x + c’dir.

(1/x)’in integrali ln(x)’tir. ∫1e² (dx/x) belirli integrali, [ln(x)] fonksiyonuna 1 ve e² sınırları uygulanarak ln(e²) – ln(1) = 2 – 0 = 2 olarak bulunur.

Belirli İntegral, aynı zamanda eğrinin altında kalan alanı temsil eder. ∫24 f(x) dx (Soru 4) işlemi, x=2’den x=4’e kadar grafiğin altında kalan alanın (bu durumda 3 birimkare) hesaplanmasıdır.

Temel Matematik 2023-2024 Vize Soruları

1. A = {x | 2 ≤ x < 5, x ∈ N}
Yukarıda özellik vererek tarif edilmiş küme aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) {}
B) {3,4}
C) {2,3,4}
D) {1, 2, 3, 4}
E) {3,4,5}

Cevap : C) {2,3,4}

2. ∫1e² (dx/x) = ?

Yukarıda verilen belirli integralin sonucu kaçtır?

A) 2
B) e²
C) -2
D) e
E) 0

Cevap : A) 2

3.

Yukarıda verilen grafikte hangi apsis değerleri için limit mevcuttur?

A) Yalnız 4
B) 3 ve 4
C) Yalnız 3
D) 1, 3 ve 4
E) 1, 2 ve 3

Cevap : D) 1, 3 ve 4

4.

Yukarıda verilen fonksiyon grafiğine göre aşağıdaki integral işleminin sonucu kaçtır?
∫24 f(x) dx = ?

A) 5/2
B) 3/2
C) 3
D) 4
E) 5

Cevap : C) 3

5.

Yukarıda verilen sıralı ikililer aşağıdaki hangi fonksiyonun noktaları olabilir?

A) y = 5x
B) y = log x
C) y = x5
D) y = 5x
E) y = 5x²

Cevap : A) y = 5x

6. Aşağıda verilen grafiklerden hangisi veya hangileri iki boyutlu koordinat sisteminde bir fonksiyon belirtir?

A) 2 ve 3
B) Yalnız 1
C) 2 ve 4
D) 1 ve 2
E) 1 ve 4

Cevap : E) 1 ve 4

7.

Yukarıda grafiği verilen fonksiyon kaçıncı dereceden polinom fonksiyondur?

A) İkinci dereceden polinom fonksiyon
B) Sıfırıncı dereceden polinom fonksiyon
C) Birinci dereceden polinom fonksiyon
D) Dördüncü dereceden polinom fonksiyon
E) Üçüncü dereceden polinom fonksiyon

Cevap : E) Üçüncü dereceden polinom fonksiyon

8. Bir litre cam şişede hazırlanan sütler dörderli olarak paketlenip bayilere sevk edilmektedir. Şişe sütün maliyeti 11 TL olup 15 TL etiket fiyatı ile satışa sunulmaktadır.
Günde 1 ton süt sevkedildiğine ve elde edilen kar 3500 TL olduğuna göre şişeler için toplam paketleme maliyeti ne kadar olur?

A) 750 TL
B) 1250 TL
C) 500 TL
D) 1000 TL
E) 250 TL

Cevap : C) 500 TL

9.

Yukarıdaki grafikte verilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x + 4y = 2
B) x + 4y = -2
C) x + 2y = 0
D) x + y = 0
E) x – 2y = 0

Cevap : C) x + 2y = 0

10. Yukarıda verilen grafiğe göre (-6, 5) aralığında fonksiyon kaç noktada süreksizdir?

A) 2 noktada
B) 5 noktada
C) 4 noktada
D) 1 noktada
E) 3 noktada

Cevap : E) 3 noktada

11.

∫ 2x * ln(2) dx
Yukarıda verilen integral işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) x * 2x + c
B) 2x + c
C) ln x + c
D) 1 + c
E) 2x+1 + c

Cevap : B) 2x + c

12. f(x) = e(ln x) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? (f'(x) = ?)

A) f'(x) = ln x
B) f'(x) = ex
C) f'(x) = e(-ln x)
D) f'(x) = (1/x) * e(ln x)
E) f'(x) = x * e(ln x)

Cevap : D) f'(x) = (1/x) * e(ln x)

13. Aşağıdaki reel sayılardan hangisi bir irrasyonel sayı değildir?

A) π sayısı
B) √4
C) √3
D) √8
E) e sayısı

Cevap : B) √4

14. P = 750 + 325 * (1,375)t , t ≥ 0
Yukarıda bir hastanede bulunan hasta sayısının (P), t ‘ye bağlı fonksiyonu verilmektedir. Burada t ayları göstermektedir. t = 0 anında hastanede kaç hasta bulunmaktadır?

A) 325
B) 1325
C) 750
D) 1075
E) 1400

Cevap : D) 1075

15. x, y ∈ R ve x < 0 < y olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) x – y < 0
B) x + y < 0
C) (x * y) > 0
D) (x / y) > 0
E) x + y > 0

Cevap : A) x – y < 0

16.

Yukarıda bir fonksiyonun türevine ilişkin grafik (f'(x)) verilmiştir. Buna göre hangi nokta ya da noktalarda fonksiyon (f(x)) tepe noktalarına sahiptir?

A) A, E ve D
B) Yalnız C
C) A, B ve C
D) Yalnız B
E) A ve D

Cevap : A) A, E ve D

17.

Yukarıda verilen grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine aittir?

A) f(x) = 2x
B) f(x) = 4x
C) f(x) = 2-x
D) f(x) = 3x
E) f(x) = 4-x

Cevap : C) f(x) = 2-x

18. Bir fonksiyonun tersi olabilmesi için yukarıdaki şartlardan hangisi veya hangileri sağlanmalıdır?
I. Fonksiyon birebir olmalıdır.
II. Fonksiyon örten olmalıdır.
III. İçine fonksiyon olmalıdır.

A) Yalnız I
B) II ve III
C) Yalnız III
D) I ve II
E) I ve III

Cevap : D) I ve II

19.

Yukarıda verilen parçalı fonksiyon için, limx→1 f(x) = ?

f(x) = { x² (x < 1)
     { x/2 (x ≥ 1)

A) 1/2
B) Limit mevcut değildir.
C) 1
D) 2
E) 0

Cevap : B) Limit mevcut değildir.

20.

Yukarıda verilen fonksiyon grafiğine göre hangi noktalarda f(x) tepe noktalarına sahiptir?

A) Yalnız D
B) B, D ve E
C) B ve E
D) A ve C
E) A, C ve D

Cevap : B) B, D ve E